Контрольные задания > Вариант 2. 1. На рисунке 162 луч BD является биссектрисой угла ABC, а луч DB является биссектрисой угла ADC. Докажите, что треугольники ABD и CBD равны. 2. Дан отрезок. Постройте две какие-либо взаимно перпендикулярные прямые и на одной из них от точки пересечения отложите отрезок, равный данному. 3. Внутри треугольника ABC взята точка O, причем ∠BOC = ∠BOA, AO = OC. а) Докажите, что углы BAC и BCA равны. б) Докажите, что прямая BO проходит через середину отрезка AC. 4*. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 11°15' ?
Вопрос:

Вариант 2. 1. На рисунке 162 луч BD является биссектрисой угла ABC, а луч DB является биссектрисой угла ADC. Докажите, что треугольники ABD и CBD равны. 2. Дан отрезок. Постройте две какие-либо взаимно перпендикулярные прямые и на одной из них от точки пересечения отложите отрезок, равный данному. 3. Внутри треугольника ABC взята точка O, причем ∠BOC = ∠BOA, AO = OC. а) Докажите, что углы BAC и BCA равны. б) Докажите, что прямая BO проходит через середину отрезка AC. 4*. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 11°15' ?

Ответ:

Решение задач по геометрии

Вариант 2

Задача 1: Доказательство равенства треугольников ABD и CBD

Дано: Луч BD – биссектриса угла ABC, луч DB – биссектриса угла ADC.

Доказать: Треугольники ABD и CBD равны.

Доказательство:

  1. Так как BD – биссектриса угла ABC, то ∠ABD = ∠CBD.
  2. Так как DB – биссектриса угла ADC, то ∠ADB = ∠CDB.
  3. Сторона BD – общая для треугольников ABD и CBD.
  4. Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (второй признак равенства треугольников).

Задача 2: Построение перпендикулярных прямых и отрезка

Для построения двух взаимно перпендикулярных прямых можно использовать следующий метод:

  1. Проведите прямую линию l.
  2. Выберите точку O на прямой l.
  3. С помощью циркуля постройте окружность с центром в точке O.
  4. Отметьте точки A и B на прямой l, где окружность пересекает прямую.
  5. Постройте две окружности одинакового радиуса (большего, чем половина AB) с центрами в точках A и B.
  6. Точки пересечения этих окружностей определяют прямую, перпендикулярную прямой l и проходящую через точку O.
  7. Отложите на любой из этих прямых отрезок заданной длины от точки пересечения.

Задача 3: Доказательство равенства углов BAC и BCA, и прохождения прямой BO через середину AC

Дано: ∠BOC = ∠BOA, AO = OC.

Доказать:

  1. Углы BAC и BCA равны.
  2. Прямая BO проходит через середину отрезка AC.

Доказательство:

  1. Рассмотрим треугольники BOC и BOA. У них BO – общая сторона, AO = OC (дано), и ∠BOC = ∠BOA (дано). Следовательно, треугольники BOC и BOA равны по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства треугольников).
  2. Из равенства треугольников BOC и BOA следует, что AB = BC. Значит, треугольник ABC – равнобедренный с основанием AC.
  3. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть ∠BAC = ∠BCA.
  4. Так как треугольники BOC и BOA равны, то ∠OBA = ∠OBC. Значит, BO – биссектриса угла ABC. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, является также медианой и высотой. Следовательно, BO проходит через середину отрезка AC.

Задача 4*: Построение угла в 11°15' с помощью циркуля и линейки

Построение угла в 11°15' с помощью циркуля и линейки:

  1. Постройте угол в 54° (дан).
  2. Разделите угол в 54° пополам с помощью циркуля и линейки. Получим угол в 27°.
  3. Разделите угол в 27° пополам. Получим угол в 13°30'.
  4. Разделите угол в 13°30' пополам. Получим угол в 6°45'.
  5. Сложите угол в 13°30' и угол в 6°45'.
    13°30' - 6°45'=6°45' 13°30' - 6°45'= 6°45' Разделите угол в 27° пополам с помощью циркуля и линейки. Получим угол в 13°30'. Затем разделите угол в 13°30' пополам с помощью циркуля и линейки. Получим угол 6°45'. Сложите угол 6°45' и угол 4°30': 6°45'+4°30'=11°15'. Для этого постройте луч и отложите на нем последовательно сначала угол 6°45', а потом угол 4°30'. Угол между начальным положением первого луча и конечным положением второго луча будет искомым углом в 11°15'.
Смотреть решения всех заданий с листа

Похожие