Вариант 7 1. Материальная точка движется по прямой согласно уравнению x = 6t-t³/8. Определить среднюю скорость движения точки в интервале времени 1.2 си 6 с, а также скорость точки в эти моменты времени. 2. Колесо радиусом 10 см вращается по закону: ф = 8t t². Найти нормальное и тангенциальное ускорение точек на ободе колеса через 2 с от начала движения. 3. Трамвай, трогаясь с места, движется с ускорением 0.5 м/с². Через время 12 с после начала движения мотор выключается и трамвай движется до остановки равнозамедленно. Коэффициент трения на всем пути 0.01. Найдите время движения трамвая с момента выключения мотора до остановки. Какой путь пройдет трамвай за все время движения? 4. Пуля массой 15 г, летящая горизонтально со скоростью 200 м/с, попадает в баллистический маятник длиной 1 м и массой 1.5 кг и застревает в нем. Определить угол отклонения маятника. 5. Материальная точка массой 1 кг двигалась под действием некоторой силы согласно уравнению = A-Bt+Cr-Dr (В=3 м/с, С=5 м/с², D=1 м/с³). Определить мощность, затрачиваемую на движение точки в момент времени 1 с. 6. Частота вращения маховика, момент инерции которого равен 120 кг·м2, составляет 240 об/мин. После прекращения действия на него вращающего момента маховик под действием сил трения в подшипниках остановился за время я мин. Считая трение в подшипниках постоянным, определить момент сил трения. 7. Обруч и диск одинаковой массы катятся без скольжения с одной и той же скоростью о. Кинетическая энергия обруча 40 Дж. Найти кинетическую энергию диска. 8. Материальная точка массой 10 г совершает колебания согласно уравнению х = 0,2sin8πι, Μ. Найдите силу, действующую в момент времени 1 = 0,1 с, а также полную энергию точки. 9. Амплитуда затухающих колебаний маятника за 1 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз она уменьшится за 4 мин? 10. В сосуде находится смесь 10 г углекислого газа и 15 г азота. Найти плотность смеси при температуре 27°С и давлении 0.15 МПа.

Решения задач варианта 7:

1. 1. Материальная точка движется по прямой согласно уравнению $$x = 6t - \frac{t^3}{8}$$. Определить среднюю скорость движения точки в интервале времени 1.2 с и 6 с, а также скорость точки в эти моменты времени.

   Найдем скорость как производную от координаты по времени: $$v(t) = \frac{dx}{dt} = 6 - \frac{3t^2}{8}$$.

   Средняя скорость в интервале от $$t_1=1.2\ с$$ до $$t_2=6\ с$$:

   $$v_{ср} = \frac{x(t_2) - x(t_1)}{t_2 - t_1}$$.

   Вычислим координаты в моменты времени $$t_1$$ и $$t_2$$:

   $$x(1.2) = 6 \cdot 1.2 - \frac{1.2^3}{8} = 7.2 - \frac{1.728}{8} = 7.2 - 0.216 = 6.984 \ м$$. $$x(6) = 6 \cdot 6 - \frac{6^3}{8} = 36 - \frac{216}{8} = 36 - 27 = 9 \ м$$.

   Средняя скорость:

   $$v_{ср} = \frac{9 - 6.984}{6 - 1.2} = \frac{2.016}{4.8} = 0.42 \ м/с$$.

   Скорость в моменты времени:

   $$v(1.2) = 6 - \frac{3 \cdot 1.2^2}{8} = 6 - \frac{3 \cdot 1.44}{8} = 6 - \frac{4.32}{8} = 6 - 0.54 = 5.46 \ м/с$$.
   $$v(6) = 6 - \frac{3 \cdot 6^2}{8} = 6 - \frac{3 \cdot 36}{8} = 6 - \frac{108}{8} = 6 - 13.5 = -7.5 \ м/с$$.

   Ответ: Средняя скорость = 0.42 м/с; v(1.2) = 5.46 м/с; v(6) = -7.5 м/с.

2. 2. Колесо радиусом 10 см вращается по закону: $$\varphi = 8t - t^2$$. Найти нормальное и тангенциальное ускорение точек на ободе колеса через 2 с от начала движения.

   Дано: $$R = 0.1 \ м$$, $$\varphi(t) = 8t - t^2$$, $$t = 2 \ с$$.

   Угловая скорость: $$\omega(t) = \frac{d\varphi}{dt} = 8 - 2t$$.

   Угловое ускорение: $$\varepsilon(t) = \frac{d\omega}{dt} = -2 \ рад/с^2$$.

   Тангенциальное ускорение: $$a_\tau = R \cdot \varepsilon = 0.1 \cdot (-2) = -0.2 \ м/с^2$$.

   Нормальное ускорение: $$a_n = R \cdot \omega^2$$.

   В момент времени t = 2 c: $$\omega(2) = 8 - 2 \cdot 2 = 4 \ рад/с$$.

   Нормальное ускорение: $$a_n = 0.1 \cdot 4^2 = 0.1 \cdot 16 = 1.6 \ м/с^2$$.

   Ответ: $$a_\tau = -0.2 \ м/с^2$$, $$a_n = 1.6 \ м/с^2$$.

3. 3. Трамвай, трогаясь с места, движется с ускорением 0.5 м/с². Через время 12 с после начала движения мотор выключается и трамвай движется до остановки равнозамедленно. Коэффициент трения на всем пути 0.01. Найдите время движения трамвая с момента выключения мотора до остановки. Какой путь пройдет трамвай за все время движения?

   Дано: $$a_1 = 0.5 \ м/с^2$$, $$t_1 = 12 \ с$$, $$\mu = 0.01$$.

   Скорость в конце первого этапа: $$v_1 = a_1 \cdot t_1 = 0.5 \cdot 12 = 6 \ м/с$$.

   Ускорение на втором этапе: $$a_2 = -g \cdot \mu = -9.8 \cdot 0.01 = -0.098 \ м/с^2$$.

   Время движения на втором этапе: $$t_2 = \frac{0 - v_1}{a_2} = \frac{-6}{-0.098} = 61.22 \ с$$.

   Путь на первом этапе: $$S_1 = \frac{a_1 \cdot t_1^2}{2} = \frac{0.5 \cdot 12^2}{2} = \frac{0.5 \cdot 144}{2} = 36 \ м$$.

   Путь на втором этапе: $$S_2 = v_1 \cdot t_2 + \frac{a_2 \cdot t_2^2}{2} = 6 \cdot 61.22 + \frac{-0.098 \cdot 61.22^2}{2} = 367.32 - 183.65 = 183.67 \ м$$.

   Общий путь: $$S = S_1 + S_2 = 36 + 183.67 = 219.67 \ м$$.

   Ответ: Время движения после выключения мотора = 61.22 с; общий путь = 219.67 м.

4. 4. Пуля массой 15 г, летящая горизонтально со скоростью 200 м/с, попадает в баллистический маятник длиной 1 м и массой 1.5 кг и застревает в нем. Определить угол отклонения маятника.

   Дано: $$m = 0.015 \ кг$$, $$v = 200 \ м/с$$, $$M = 1.5 \ кг$$, $$l = 1 \ м$$.

   Скорость маятника сразу после попадания пули (закон сохранения импульса): $$v' = \frac{m \cdot v}{m + M} = \frac{0.015 \cdot 200}{0.015 + 1.5} = \frac{3}{1.515} = 1.98 \ м/с$$.

   Высота подъема маятника (закон сохранения энергии): $$\frac{(m+M)v'^2}{2} = (m+M)gh \Rightarrow h = \frac{v'^2}{2g} = \frac{1.98^2}{2 \cdot 9.8} = \frac{3.92}{19.6} = 0.2 \ м$$.

   Угол отклонения: $$h = l(1 - \cos\alpha) \Rightarrow \cos\alpha = 1 - \frac{h}{l} = 1 - \frac{0.2}{1} = 0.8 \Rightarrow \alpha = \arccos(0.8) = 36.87^{\circ}$$.

   Ответ: Угол отклонения = 36.87°.

5. 5. Материальная точка массой 1 кг двигалась под действием некоторой силы согласно уравнению $$s = A - Bt + Ct^2 - Dt^3$$ ($$B = 3 \ м/с$$, $$C = 5 \ м/с^2$$, $$D = 1 \ м/с^3$$). Определить мощность, затрачиваемую на движение точки в момент времени 1 с.

   Дано: $$m = 1 \ кг$$, $$s(t) = A - 3t + 5t^2 - t^3$$, $$t = 1 \ с$$.

   Скорость: $$v(t) = \frac{ds}{dt} = -3 + 10t - 3t^2$$.

   Ускорение: $$a(t) = \frac{dv}{dt} = 10 - 6t$$.

   В момент времени t = 1 c: $$v(1) = -3 + 10 \cdot 1 - 3 \cdot 1^2 = -3 + 10 - 3 = 4 \ м/с$$.

   $$a(1) = 10 - 6 \cdot 1 = 4 \ м/с^2$$.

   Сила: $$F = m \cdot a = 1 \cdot 4 = 4 \ Н$$.

   Мощность: $$P = F \cdot v = 4 \cdot 4 = 16 \ Вт$$.

   Ответ: Мощность = 16 Вт.

6. 6. Частота вращения маховика, момент инерции которого равен 120 кг·м2, составляет 240 об/мин. После прекращения действия на него вращающего момента маховик под действием сил трения в подшипниках остановился за время я мин. Считая трение в подшипниках постоянным, определить момент сил трения.

   Дано: $$I = 120 \ кг \cdot м^2$$, $$n = 240 \ об/мин = \frac{240}{60} = 4 \ об/с$$, $$t = \pi \ мин = 60\pi \ с$$.

   Начальная угловая скорость: $$\omega_0 = 2\pi n = 2 \pi \cdot 4 = 8\pi \ рад/с$$.

   Угловое ускорение: $$\varepsilon = \frac{\omega - \omega_0}{t} = \frac{0 - 8\pi}{60\pi} = -\frac{8}{60} = -\frac{2}{15} \ рад/с^2$$.

   Момент сил трения: $$M = I \cdot \varepsilon = 120 \cdot (-\frac{2}{15}) = -16 \ Н \cdot м$$.

   Ответ: Момент сил трения = -16 Н·м.

7. 7. Обруч и диск одинаковой массы катятся без скольжения с одной и той же скоростью υ. Кинетическая энергия обруча 40 Дж. Найти кинетическую энергию диска.

   Кинетическая энергия катящегося тела: $$E_k = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}I\omega^2$$.

   Для обруча: $$I_1 = mR^2$$, $$E_{k1} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mR^2\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}mv^2 = mv^2 = 40 \ Дж$$.

   Для диска: $$I_2 = \frac{1}{2}mR^2$$, $$E_{k2} = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{2}(\frac{1}{2}mR^2)\omega^2 = \frac{1}{2}mv^2 + \frac{1}{4}mv^2 = \frac{3}{4}mv^2$$.

   Так как $$mv^2 = 40 \ Дж$$, то $$E_{k2} = \frac{3}{4} \cdot 40 = 30 \ Дж$$.

   Ответ: Кинетическая энергия диска = 30 Дж.

8. 8. Материальная точка массой 10 г совершает колебания согласно уравнению $$x = 0.2\sin(8\pi t)$$, м. Найдите силу, действующую в момент времени t = 0,1 с, а также полную энергию точки.

   Дано: $$m = 0.01 \ кг$$, $$x(t) = 0.2\sin(8\pi t)$$, $$t = 0.1 \ с$$.

   Ускорение: $$a(t) = \frac{d^2x}{dt^2} = -0.2(8\pi)^2\sin(8\pi t) = -0.2 \cdot 64\pi^2 \sin(8\pi t)$$.

   В момент времени t = 0.1 c: $$a(0.1) = -0.2 \cdot 64\pi^2 \sin(8\pi \cdot 0.1) = -12.8\pi^2 \sin(0.8\pi) = -12.8\pi^2 \sin(144^{\circ}) = -12.8 \cdot 9.87 \cdot 0.588 = -73.9 \ м/с^2$$.

   Сила: $$F = m \cdot a = 0.01 \cdot (-73.9) = -0.739 \ Н$$.

   Полная энергия: $$E = \frac{1}{2}kA^2$$, где $$k = m\omega^2$$, $$A = 0.2 \ м$$, $$\omega = 8\pi \ рад/с$$.

   $$E = \frac{1}{2}m\omega^2A^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.01 \cdot (8\pi)^2 \cdot 0.2^2 = \frac{1}{2} \cdot 0.01 \cdot 64 \pi^2 \cdot 0.04 = 0.005 \cdot 64 \cdot 9.87 \cdot 0.04 = 0.0126 \ Дж$$.

   Ответ: Сила = -0.739 Н; Полная энергия = 0.0126 Дж.

9. 9. Амплитуда затухающих колебаний маятника за 1 мин уменьшилась вдвое. Во сколько раз она уменьшится за 4 мин?

   Амплитуда затухающих колебаний уменьшается по экспоненциальному закону: $$A(t) = A_0e^{-\beta t}$$, где $$\beta$$ - коэффициент затухания.

   За 1 минуту (60 с) амплитуда уменьшилась вдвое: $$\frac{A(60)}{A_0} = \frac{1}{2} = e^{-60\beta}$$.

   За 4 минуты (240 с): $$\frac{A(240)}{A_0} = e^{-240\beta} = (e^{-60\beta})^4 = (\frac{1}{2})^4 = \frac{1}{16}$$.

   Ответ: Амплитуда уменьшится в 16 раз.

10. 10. В сосуде находится смесь 10 г углекислого газа и 15 г азота. Найти плотность смеси при температуре 27°С и давлении 0.15 МПа.

    Дано: $$m_{CO_2} = 0.01 \ кг$$, $$m_{N_2} = 0.015 \ кг$$, $$T = 27^{\circ}C = 300 \ К$$, $$P = 0.15 \ МПа = 150000 \ Па$$.

    Молярная масса углекислого газа: $$M_{CO_2} = 44 \ г/моль = 0.044 \ кг/моль$$.

    Молярная масса азота: $$M_{N_2} = 28 \ г/моль = 0.028 \ кг/моль$$.

    Количество вещества углекислого газа: $$n_{CO_2} = \frac{m_{CO_2}}{M_{CO_2}} = \frac{0.01}{0.044} = 0.227 \ моль$$.

    Количество вещества азота: $$n_{N_2} = \frac{m_{N_2}}{M_{N_2}} = \frac{0.015}{0.028} = 0.536 \ моль$$.

    Общее количество вещества: $$n = n_{CO_2} + n_{N_2} = 0.227 + 0.536 = 0.763 \ моль$$.

    Объем смеси: $$V = \frac{nRT}{P} = \frac{0.763 \cdot 8.31 \cdot 300}{150000} = \frac{1904.46}{150000} = 0.0127 \ м^3$$.

    Общая масса смеси: $$m = m_{CO_2} + m_{N_2} = 0.01 + 0.015 = 0.025 \ кг$$.

    Плотность смеси: $$\rho = \frac{m}{V} = \frac{0.025}{0.0127} = 1.969 \ кг/м^3$$.

    Ответ: Плотность смеси = 1.969 кг/м³.