Вариант 2 1. Диагонали прямоугольника MNKP пересекаются в точке O, ∠MON = 64°. Найдите угол OMP. 2. Найдите углы равнобокой трапеции, если один из ее углов на 30° больше второго. 3. Стороны параллелограмма относятся как 3: 1, а его периметр равен 40 см. Найдите стороны параллелограмма. 4. В прямоугольной трапеции разность углов при одной из боковых сторон равна 48°. Найдите углы трапеции. 5. * Высота ВМ, проведенная из вершины угла ромба ABCD образует со стороной АВ угол 30°, длина диагонали АС равна 6 см. Найдите АМ, если точка М лежит на продолжении стороны AD.

В прямоугольнике диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам. Значит, треугольник MON - равнобедренный (MO = ON).

Следовательно, ∠OMN = ∠ONM = $$\frac{180° - ∠MON}{2} = \frac{180° - 64°}{2} = \frac{116°}{2} = 58°$$

Так как MNKP - прямоугольник, то ∠KMN = 90°.

Тогда ∠OMP = ∠KMN - ∠OMN = 90° - 58° = 32°.

Ответ: ∠OMP = 32°

В равнобокой трапеции углы при основании равны. Пусть один угол равен x, тогда другой x + 30°.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.

Составим уравнение: $$x + (x + 30°) = 180°$$

$$2x = 150°$$

$$x = 75°$$

Тогда другой угол равен 75° + 30° = 105°.

В равнобокой трапеции углы при другом основании также равны 75° и 105°.

Ответ: Углы трапеции равны 75°, 75°, 105°, 105°.

Пусть одна сторона параллелограмма равна 3x, тогда другая равна x.

Периметр параллелограмма равен 2(a + b), где a и b - стороны параллелограмма.

Составим уравнение: $$2(3x + x) = 40$$

$$2(4x) = 40$$

$$8x = 40$$

$$x = 5$$

Тогда одна сторона равна 3 × 5 = 15 см, другая равна 5 см.

Ответ: Стороны параллелограмма равны 15 см и 5 см.

В прямоугольной трапеции один угол равен 90°. Пусть один угол равен x, тогда другой x + 48°.

Сумма углов, прилежащих к боковой стороне, равна 180°.

Составим уравнение: $$x + (x + 48°) = 180°$$

$$2x = 132°$$

$$x = 66°$$

Тогда другой угол равен 66° + 48° = 114°.

Так как трапеция прямоугольная, то два угла равны 90°.

Найдем четвертый угол: 360° - (90° + 90° + 114°) = 360° - 294° = 66°

Ответ: Углы трапеции равны 66°, 90°, 90°, 114°.

Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM, где ∠ABM = 30°.

Катет, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы. Значит, AM = 2AC = 2 × 6 = 12 см.

Ответ: AM = 12 см.