Вариант 2 1. ABCD – параллелограмм (рис. 1), ∠B + ∠D=210°. Найдите угол А. 2. ABCD — прямоугольник, BD = 16 см, АВ = 10 см. Найдите периметр треугольника COD, где О - точка пересечения диагоналей. 3. Периметр ромба ABCD равен 48 см, ∠A = 120°. Найдите среднюю линию МК треугольника АВС, где M ∈ AB, K ∈ BC. 4. В трапеции ABCD (рис. 2) BK || CD, AK = 12 см, ВС = 8 см, РАВК = 32 см. Найдите: а) среднюю линию трапеции; б) периметр трапеции. 5. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, отрезки MK || BC (K ∈ AB), KN || AC (N ∈ BC). Найдите периметр четырехугольника AKNC, если КВ = 8 см, АМ = 9 см, BN = 7 см.

1. В параллелограмме противоположные углы равны, значит, \(\angle B = \angle D\). Тогда \(\angle B = \angle D = 210^\circ div 2 = 105^\circ\). Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Значит, \(\angle A = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ\). 2. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам, значит, \(CO = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2}BD = 8\) см, \(OD = \frac{1}{2}BD = 8\) см. Так как \(ABCD\) — прямоугольник, то \(\angle ABC = 90^\circ\). Рассмотрим \(\triangle ABC\): \(AC = BD = 16\) см, \(AB = 10\) см. По теореме Пифагора \(BC = \sqrt{AC^2 - AB^2} = \sqrt{16^2 - 10^2} = \sqrt{256 - 100} = \sqrt{156}\) см. Тогда \(CD = AB = 10\) см. Периметр треугольника \(COD\) равен \(CO + OD + CD = 8 + 8 + 10 = 26\) см. 3. Периметр ромба равен \(4a\), где \(a\) — сторона ромба. Значит, сторона ромба равна \(48 div 4 = 12\) см. \(AB = BC = 12\) см. Так как \(MK\) — средняя линия треугольника \(ABC\), то \(MK = \frac{1}{2}AC\). Рассмотрим треугольник \(ABC\). \(\angle A = 120^\circ\), значит, \(\angle B = \angle C = (180^\circ - 120^\circ) div 2 = 30^\circ\). По теореме синусов \(\frac{AC}{\sin B} = \frac{AB}{\sin A}\), \(AC = \frac{AB cdot \sin B}{\sin A} = \frac{12 cdot \sin 30^\circ}{\sin 120^\circ} = \frac{12 cdot 0.5}{\sqrt{3} div 2} = \frac{6}{\sqrt{3} div 2} = \frac{12}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}\) см. Тогда \(MK = \frac{1}{2} cdot 4\sqrt{3} = 2\sqrt{3}\) см. 4. а) Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Так как \(BK || CD\), то \(ABCD\) — трапеция. \(ABK\) — треугольник, периметр которого равен \(AB + BK + AK = 32\) см. Пусть \(AD = x\), тогда \(AB + BK = 32 - 12 = 20\) см. Так как \(BC = 8\) см, то \(CD = AD - AK = x - 12\). Средняя линия трапеции равна \(\frac{BC + AD}{2} = \frac{8 + x}{2}\). Не хватает данных для решения задачи. б) Периметр трапеции равен \(AB + BC + CD + AD = AB + 8 + x - 12 + x = AB + 2x - 4\). Не хватает данных для решения задачи. 5. Так как \(BM\) — медиана, то \(AM = MC = 9\) см. Значит, \(AC = AM + MC = 9 + 9 = 18\) см. Так как \(MK || BC\) и \(KN || AC\), то \(AKNC\) — параллелограмм. \(AK = AM = 9\) см, \(NC = AK = 9\) см. Так как \(KB = 8\) см, то \(AB = AK + KB = 9 + 8 = 17\) см. \(BC = BN + NC = 7 + 9 = 16\) см. Тогда периметр четырехугольника \(AKNC\) равен \(2(AK + NC) = 2(9 + 9) = 36\) см.