Вариант 3 1. ABCD – параллелограмм (рис. 1), ∠B: ∠A = 5:13. Найдите сумму ∠B + ∠D. 2. ABCD - прямоугольник, BD = 10 см, периметр треугольника ACD равен 24 см. Найдите периметр прямоугольника. 3. Разность двух углов ромба равна 60°. Меньшая диагональ ромба равна 16 см. Найдите периметр ромба. 4. В трапеции ABCD CE || AB (рис. 2), BC = 5,6 м, ED = 6,2 м, PABCD = 30,4 м. Найдите: а) среднюю линию трапеции; б) периметр треугольника ECD. 5. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, отрезки MK || AB (K∈ BC), KN || AC (N∈ AB). Найдите периметр четырехугольника ANKC, если КС = 23 см, АМ = 16 см, BN = 19 см.

1. В параллелограмме ABCD, углы B и A относятся как 5:13. Сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°. Следовательно, ∠B + ∠A = 180°. Пусть ∠B = 5x, ∠A = 13x. Тогда: $$5x + 13x = 180$$ $$18x = 180$$ $$x = 10$$ ∠B = 5 * 10 = 50° ∠A = 13 * 10 = 130° В параллелограмме противоположные углы равны, поэтому ∠D = ∠B = 50°. Сумма ∠B + ∠D = 50° + 50° = 100°. Ответ: 100° 2. ABCD – прямоугольник, BD = 10 см, периметр треугольника ACD равен 24 см. Найдите периметр прямоугольника. В прямоугольнике ABCD, AC = BD = 10 см (как диагонали прямоугольника). Периметр треугольника ACD: P = AC + CD + AD = 24 см. 10 + CD + AD = 24 CD + AD = 14 Периметр прямоугольника ABCD: P = 2(AD + CD) = 2 * 14 = 28 см. Ответ: 28 см 3. Разность двух углов ромба равна 60°. Меньшая диагональ ромба равна 16 см. Найдите периметр ромба. В ромбе противоположные углы равны, а сумма углов, прилежащих к одной стороне, равна 180°. Пусть больший угол равен x, тогда меньший равен x - 60°. Имеем: x + x - 60° = 180° 2x = 240° x = 120° Меньший угол равен 120° - 60° = 60°. Таким образом, ромб состоит из двух равносторонних треугольников, так как меньший угол ромба равен 60°. Меньшая диагональ ромба является стороной равностороннего треугольника и равна 16 см. Следовательно, сторона ромба равна 16 см. Периметр ромба равен 4 * 16 = 64 см. Ответ: 64 см 4. В трапеции ABCD CE || AB (рис. 2), BC = 5,6 м, ED = 6,2 м, PABCD = 30,4 м. Найдите: а) среднюю линию трапеции; б) периметр треугольника ECD. Т.к. CE || AB, то ABCE - параллелограмм, следовательно, AE = BC = 5,6 м и CE = AB. AD = AE + ED = 5,6 + 6,2 = 11,8 м. Периметр трапеции ABCD: P = AB + BC + CD + AD = 30,4 м. AB + 5,6 + CD + 11,8 = 30,4 AB + CD = 30,4 - 5,6 - 11,8 = 13 м. а) Средняя линия трапеции равна полусумме оснований: m = (BC + AD) / 2 = (5,6 + 11,8) / 2 = 17,4 / 2 = 8,7 м. Ответ: 8,7 м б) Т.к. ABCE - параллелограмм, то CE = AB. Тогда CE + CD = 13 м. Периметр треугольника ECD: P = ED + CD + CE = 6,2 + CD + CE = 6,2 + 13 = 19,2 м. Ответ: 19,2 м 5. В треугольнике АВС проведена медиана ВМ, отрезки MK || AB (K∈ BC), KN || AC (N∈ AB). Найдите периметр четырехугольника ANKC, если КС = 23 см, АМ = 16 см, BN = 19 см. Так как BM - медиана, то AM = MC = 16 см. Так как MK || AB и KN || AC, то ANKM - параллелограмм. NK = AM = 16 см. AN = MK. Так как MK || AB, то по теореме Фалеса CK / KB = CM / MA. Но CM = MA, следовательно, CK = KB. Значит, MK - средняя линия треугольника ABC. MK = 1/2 * AC = 1/2 * (16 + 16) = 16 см. AN = MK = 16 см. Периметр четырехугольника ANKC: P = AN + NK + KC + AC = 16 + 16 + 23 + 32 = 87 см. Ответ: 87 см