Решения задач:

1. В прямоугольном треугольнике катеты равны 8 см и 6 см. Найдите гипотенузу этого треугольника.

   Пусть (a) и (b) - катеты, (c) - гипотенуза. По теореме Пифагора: (c^2 = a^2 + b^2).

   Подставляем значения: (c^2 = 8^2 + 6^2 = 64 + 36 = 100).

   Тогда (c = sqrt{100} = 10) см.

   Ответ: 10 см

2. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 13 см, а катет равен 12 см. Найдите другой катет.

   Пусть (c) - гипотенуза, (a) и (b) - катеты. По теореме Пифагора: (c^2 = a^2 + b^2).

   Выразим неизвестный катет: (a^2 = c^2 - b^2).

   Подставляем значения: (a^2 = 13^2 - 12^2 = 169 - 144 = 25).

   Тогда (a = sqrt{25} = 5) см.

   Ответ: 5 см

3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 17 см, его основание равно 16 см. Найдите высоту, проведенную к основанию.

   Пусть (b) - боковая сторона, (a) - основание, (h) - высота. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является медианой и делит основание пополам.

   Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, половиной основания и боковой стороной. По теореме Пифагора: (h^2 + (rac{a}{2})^2 = b^2).

   Выражаем высоту: (h^2 = b^2 - (rac{a}{2})^2).

   Подставляем значения: (h^2 = 17^2 - (rac{16}{2})^2 = 17^2 - 8^2 = 289 - 64 = 225).

   Тогда (h = sqrt{225} = 15) см.

   Ответ: 15 см

4. Одна сторона прямоугольника равна 7 см, а диагональ равна 25 см. Найдите периметр прямоугольника.

   Пусть (a) - одна сторона, (d) - диагональ, (b) - другая сторона. По теореме Пифагора: (a^2 + b^2 = d^2).

   Выражаем другую сторону: (b^2 = d^2 - a^2).

   Подставляем значения: (b^2 = 25^2 - 7^2 = 625 - 49 = 576).

   Тогда (b = sqrt{576} = 24) см.

   Периметр прямоугольника: (P = 2(a + b) = 2(7 + 24) = 2 cdot 31 = 62) см.

   Ответ: 62 см

5. Катеты прямоугольного треугольника относятся как 3: 4, гипотенуза равна 20 см. Найдите площадь этого треугольника.

   Пусть катеты будут (3x) и (4x), где (x) - коэффициент пропорциональности. По теореме Пифагора: ((3x)^2 + (4x)^2 = 20^2).

   Упрощаем: (9x^2 + 16x^2 = 400), (25x^2 = 400), (x^2 = 16), (x = 4) см.

   Катеты: (3x = 3 cdot 4 = 12) см и (4x = 4 cdot 4 = 16) см.

   Площадь прямоугольного треугольника: (S = rac{1}{2} cdot a cdot b = rac{1}{2} cdot 12 cdot 16 = 6 cdot 16 = 96) см(^2).

   Ответ: 96 см(^2)