Контрольные задания > Вариант 2. 1. На рисунке 162 луч BD является биссектрисой угла АВС, а луч DB является биссектрисой угла ADC. Докажите, что треугольники ABD и CBD равны. 2. Дан отрезок. Постройте две какие-либо взаимно перпендикулярные прямые и на одной из них от точки пересечения отложите отрезок, равный данному. 3. Внутри треугольника АВС взята точка О, причем ∠BOC = ∠BOA, AO = OC. а) Докажите, что углы ВАС и ВСА равны. б) Докажите, что прямая ВО проходит через середину отрезка АС. 4*. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 11°15′ ?
Вопрос:

Вариант 2. 1. На рисунке 162 луч BD является биссектрисой угла АВС, а луч DB является биссектрисой угла ADC. Докажите, что треугольники ABD и CBD равны. 2. Дан отрезок. Постройте две какие-либо взаимно перпендикулярные прямые и на одной из них от точки пересечения отложите отрезок, равный данному. 3. Внутри треугольника АВС взята точка О, причем ∠BOC = ∠BOA, AO = OC. а) Докажите, что углы ВАС и ВСА равны. б) Докажите, что прямая ВО проходит через середину отрезка АС. 4*. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 11°15′ ?

Ответ:

Решение задач из варианта 2

Задача 1

Дано: На рисунке 162 луч BD - биссектриса угла ABC, луч DB - биссектриса угла ADC.

Доказать: Треугольники ABD и CBD равны.

Доказательство:

  1. Так как BD - биссектриса угла ABC, то ∠ABD = ∠CBD.
  2. Так как DB - биссектриса угла ADC, то ∠ADB = ∠CDB.
  3. Сторона BD - общая для треугольников ABD и CBD.

Следовательно, треугольники ABD и CBD равны по второму признаку равенства треугольников (по стороне и двум прилежащим к ней углам).

Задача 2

Для построения двух взаимно перпендикулярных прямых можно воспользоваться следующим алгоритмом:

  1. Начертите прямую линию l.
  2. Выберите произвольную точку O на прямой l.
  3. Постройте окружность с центром в точке O. Окружность пересечет прямую l в двух точках, обозначим их A и B.
  4. Постройте две окружности одинакового радиуса (большего, чем половина AB) с центрами в точках A и B.
  5. Эти окружности пересекутся в двух точках. Соедините эти точки прямой линией.
  6. Полученная прямая будет перпендикулярна прямой l и пройдет через точку O.
  7. Чтобы отложить отрезок, равный данному, на одной из прямых, используйте циркуль. Отложите отрезок нужной длины от точки пересечения.

Задача 3

Дано: В треугольнике ABC точка O внутри, ∠BOC = ∠BOA, AO = OC.

а) Доказать: Углы BAC и BCA равны.

б) Доказать: Прямая BO проходит через середину отрезка AC.

Доказательство:

а) Рассмотрим треугольники AOB и COB. У них:

  • AO = OC (по условию).
  • BO - общая сторона.
  • ∠BOC = ∠BOA (по условию).

Следовательно, треугольники AOB и COB равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними). Из равенства треугольников следует, что AB = BC. Таким образом, треугольник ABC равнобедренный с основанием AC, а значит, углы при основании равны: ∠BAC = ∠BCA.

б) Поскольку треугольники AOB и COB равны, то ∠ABO = ∠CBO, то есть BO - биссектриса угла ABC. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная к основанию, также является медианой и высотой. Следовательно, BO проходит через середину отрезка AC.

Задача 4*

Построение угла в 11°15' с помощью циркуля и линейки:

Поскольку 11°15' = 54°/4 - можно сначала построить угол в 54 градуса, затем разделить его пополам дважды.

  1. Для построения угла в 54 градуса, нужно разделить угол в 90 градусов на 5 равных частей.
  2. Сначала постройте прямой угол (90 градусов).
  3. Разделить угол в 90 градусов на 5 равных частей с помощью циркуля и линейки невозможно. Но возможно построить угол 54 градуса с помощью транспортира.
  4. Далее, чтобы построить угол 11°15', разделите угол в 54 градуса пополам, затем еще раз пополам. Для деления угла пополам используйте циркуль и линейку: постройте биссектрису угла.
  5. Для деления угла пополам постройте окружность с центром в вершине угла, пересекающую стороны угла в двух точках.
  6. Постройте две окружности одинакового радиуса с центрами в этих точках (радиус должен быть больше половины расстояния между точками).
  7. Соедините точку пересечения этих окружностей с вершиной угла. Эта линия - биссектриса, делящая угол пополам.
Смотреть решения всех заданий с листа

Похожие