Вариант 1. • 1. Представьте в виде дроби: а) $$rac{42x^5}{y^4} \cdot \frac{y^2}{14x^5}$$; б) $$rac{63a^3b}{c} : (18a^2b)$$; в) $$rac{4a^2-1}{a^2-9} : \frac{6a+3}{a+3}$$; г) $$rac{p-q}{p} \cdot (\frac{p}{p-q} + \frac{p}{q})$$. • 2. Найдите допустимые значения переменной в выражении: а) $$rac{y^2+3y}{4}$$; б) $$rac{10y}{y^2-16}$$. 3. Докажите, что при всех значениях $$b \neq \pm 1$$ значение выражения $$(b-1)^2(\frac{1}{b^2-2b+1} + \frac{1}{b^2-1}) + \frac{2}{b+1}$$ не зависит от $$b$$. 4. При каких значениях a имеет смысл выражение $$\frac{15a}{3+\frac{21}{4a-6}}$$?

Решение:

1. Представьте в виде дроби:

а) $$\frac{42x^5}{y^4} \cdot \frac{y^2}{14x^5} = \frac{42}{14} \cdot \frac{x^5}{x^5} \cdot \frac{y^2}{y^4} = 3 \cdot 1 \cdot \frac{1}{y^2} = \frac{3}{y^2}$$

Ответ: $$\frac{3}{y^2}$$

б) $$\frac{63a^3b}{c} : (18a^2b) = \frac{63a^3b}{c} \cdot \frac{1}{18a^2b} = \frac{63}{18} \cdot \frac{a^3}{a^2} \cdot \frac{b}{b} \cdot \frac{1}{c} = \frac{7}{2} \cdot a \cdot 1 \cdot \frac{1}{c} = \frac{7a}{2c}$$

Ответ: $$\frac{7a}{2c}$$

в) $$\frac{4a^2-1}{a^2-9} : \frac{6a+3}{a+3} = \frac{(2a-1)(2a+1)}{(a-3)(a+3)} \cdot \frac{a+3}{3(2a+1)} = \frac{(2a-1)(2a+1)(a+3)}{3(a-3)(a+3)(2a+1)} = \frac{2a-1}{3(a-3)}$$

Ответ: $$\frac{2a-1}{3(a-3)}$$

г) $$\frac{p-q}{p} \cdot (\frac{p}{p-q} + \frac{p}{q}) = \frac{p-q}{p} \cdot \frac{pq + p(p-q)}{(p-q)q} = \frac{p-q}{p} \cdot \frac{pq + p^2 - pq}{(p-q)q} = \frac{p-q}{p} \cdot \frac{p^2}{(p-q)q} = \frac{(p-q)p^2}{p(p-q)q} = \frac{p}{q}$$

Ответ: $$\frac{p}{q}$$

2. Найдите допустимые значения переменной в выражении:

а) $$\frac{y^2+3y}{4}$$

Знаменатель не содержит переменной, поэтому допустимые значения переменной y - все действительные числа.

Ответ: y - любое действительное число.

б) $$\frac{10y}{y^2-16}$$

Выражение имеет смысл, когда знаменатель не равен нулю:

$$y^2-16
eq 0$$

$$y^2
eq 16$$

$$y
eq \pm 4$$

Ответ: $$y
eq \pm 4$$

3. Докажите, что при всех значениях $$b
eq \pm 1$$ значение выражения $$(b-1)^2(\frac{1}{b^2-2b+1} + \frac{1}{b^2-1}) + \frac{2}{b+1}$$ не зависит от $$b$$.

$$(b-1)^2(\frac{1}{b^2-2b+1} + \frac{1}{b^2-1}) + \frac{2}{b+1} = (b-1)^2(\frac{1}{(b-1)^2} + \frac{1}{(b-1)(b+1)}) + \frac{2}{b+1} = $$

$$= 1 + \frac{(b-1)^2}{(b-1)(b+1)} + \frac{2}{b+1} = 1 + \frac{b-1}{b+1} + \frac{2}{b+1} = 1 + \frac{b-1+2}{b+1} = 1 + \frac{b+1}{b+1} = 1 + 1 = 2$$

Выражение равно 2 и не зависит от b.

Ответ: Выражение не зависит от b.

4. При каких значениях a имеет смысл выражение $$\frac{15a}{3+\frac{21}{4a-6}}$$?

Выражение имеет смысл, если знаменатель не равен нулю:

1) $$4a-6
eq 0$$

$$4a
eq 6$$

$$a
eq \frac{6}{4}$$

$$a
eq \frac{3}{2}$$

2) $$3+\frac{21}{4a-6}
eq 0$$

$$\frac{3(4a-6)+21}{4a-6}
eq 0$$

$$3(4a-6)+21
eq 0$$

$$12a-18+21
eq 0$$

$$12a+3
eq 0$$

$$12a
eq -3$$

$$a
eq -\frac{3}{12}$$

$$a
eq -\frac{1}{4}$$

Ответ: $$a
eq \frac{3}{2}, a
eq -\frac{1}{4}$$