18. Ваня доходит от дома до школы за 30 минут, а его сестра Лена за 40 минут. Через сколько минут Ваня догонит Лену, если Ваня выйдет из дома через 5 минут после ухода Лены?

Пусть $$S$$ - расстояние от дома до школы. Скорость Вани: $$v_B = \frac{S}{30}$$. Скорость Лены: $$v_Л = \frac{S}{40}$$. Когда Ваня вышел, Лена уже шла 5 минут, значит, она прошла расстояние: $$S_Л = v_Л \times 5 = \frac{S}{40} \times 5 = \frac{S}{8}$$. Пусть $$t$$ - время, через которое Ваня догонит Лену. За это время Ваня пройдет расстояние: $$S_B = v_B \times t = \frac{S}{30}t$$. Лена пройдет расстояние: $$S_Л' = v_Л \times t = \frac{S}{40}t$$. Тогда: $$S_B = S_Л + S_Л'$$ или $$\frac{S}{30}t = \frac{S}{8} + \frac{S}{40}t$$. Умножим обе части уравнения на $$\frac{1}{S}$$: $$\frac{t}{30} = \frac{1}{8} + \frac{t}{40}$$. $$\frac{t}{30} - \frac{t}{40} = \frac{1}{8}$$. $$\frac{4t - 3t}{120} = \frac{1}{8}$$. $$\frac{t}{120} = \frac{1}{8}$$. $$t = \frac{120}{8} = 15 \text{ минут}$$. Ваня догонит Лену через **15 минут**.