В закрытый сосуд объёмом 5 л налили два раствора одинаковой массы с плотностями 1000 г/л и 1200 г/л. Масса воздуха в сосуде до добавления растворов составляла 200 г. После встряхивания весь сосуд заполнился пеной. Определите плотность пены.

Ответ: 440 г/л

1. Шаг 1: Определение объемов растворов
   Обозначим массу каждого раствора за m. Тогда объемы растворов будут: \[V_1 = \frac{m}{1000}\] \[V_2 = \frac{m}{1200}\]
2. Шаг 2: Суммарный объем растворов
   Суммарный объем двух растворов: \[V = V_1 + V_2 = \frac{m}{1000} + \frac{m}{1200} = m\left(\frac{1}{1000} + \frac{1}{1200}\right) = m\left(\frac{1200 + 1000}{1000 \cdot 1200}\right) = m\left(\frac{2200}{1200000}\right) = \frac{11m}{6000}\]
3. Шаг 3: Уравнение для общего объема
   Общий объем равен объему сосуда, то есть 5 л: \[\frac{11m}{6000} = 5\] \[m = \frac{5 \cdot 6000}{11} = \frac{30000}{11} \approx 2727.27 \text{ г}\]
4. Шаг 4: Общая масса пены
   Общая масса пены складывается из массы двух растворов и массы воздуха: \[M = 2m + 200 = 2 \cdot \frac{30000}{11} + 200 = \frac{60000}{11} + 200 = \frac{60000 + 2200}{11} = \frac{62200}{11} \approx 5654.55 \text{ г}\]
5. Шаг 5: Плотность пены
   Плотность пены равна общей массе, деленной на объем сосуда (5 л): \[\rho = \frac{M}{V} = \frac{5654.55}{5} = 1130.91 \text{ г/л}\]
   Но можно и так: \[\rho = \frac{\frac{62200}{11}}{5} = \frac{62200}{55} = \frac{12440}{11} \approx 1130.91 \text{ г/л}\]
6. Шаг 6: Уточнение (не влекла ли ошибка округления)
   По условию задачи масса воздуха 200 г, а полная масса пены:
   \[ \frac{60000}{11} + 200 = \frac{60000 + 2200}{11} = \frac{62200}{11} \approx 5654.54 \text{ г} \]
   Тогда плотность пены:
   \[ \rho = \frac{5654.54}{5} \approx 1130.91 \text{ г/л} \]
7. Шаг 7: Еще раз уточним, какой ответ требуется. В условии «масса воздуха в сосуде до добавления растворов составляла 200 г». То есть, воздух уже был в сосуде до добавления двух растворов. Масса пены состоит из массы двух растворов и массы воздуха. Суммарная масса двух растворов: \[2m = 2 \cdot \frac{30000}{11} = \frac{60000}{11} \approx 5454.55 \text{ г}\] Полная масса пены: \[M = \frac{60000}{11} + 200 = \frac{60000 + 2200}{11} = \frac{62200}{11} \approx 5654.55 \text{ г}\]Плотность пены: \[ \rho = \frac{5654.55}{5} \approx 1130.91 \text{ г/л}\]То есть, воздух УЖЕ учтен.
8. Итоговый расчет, если пренебречь наличием воздуха в сосуде (как в условии)
   Общая масса двух растворов: \[2m = 2 \cdot \frac{30000}{11} = \frac{60000}{11} \approx 5454.55 \text{ г}\]Плотность смеси: \[ \rho = \frac{5454.55}{5} \approx 1090.91 \text{ г/л}\]
9. Предположим, что в условии задачи имелась в виду плотность смеси двух растворов БЕЗ учета воздуха. Тогда логика такая:
   Объем первого раствора: \[V_1 = \frac{m}{\rho_1} = \frac{m}{1000}\]Объем второго раствора: \[V_2 = \frac{m}{\rho_2} = \frac{m}{1200}\]Суммарный объем двух растворов равен объему сосуда, то есть 5 л:\[V_1 + V_2 = 5\]\[\frac{m}{1000} + \frac{m}{1200} = 5\]\[m\left(\frac{1}{1000} + \frac{1}{1200}\right) = 5\]\[m\left(\frac{1200 + 1000}{1000 \cdot 1200}\right) = 5\]\[m \cdot \frac{2200}{1200000} = 5\]\[m = \frac{5 \cdot 1200000}{2200} = \frac{6000000}{2200} = \frac{60000}{22} = \frac{30000}{11} \approx 2727.27 \text{ г}\]Полная масса двух растворов: \[2m = 2 \cdot \frac{30000}{11} = \frac{60000}{11} \approx 5454.55 \text{ г}\]Плотность смеси: \[ \rho = \frac{5454.55}{5} \approx 1090.91 \text{ г/л}\]
10. Окончательный ответ
    В условии задачи указано, что нужно определить плотность пены, которая заполнила весь сосуд после встряхивания. Масса воздуха уже учтена. Поэтому:

Ответ: 1090.91 г/л (если учитывать только растворы)

Если же массу воздуха не учитывать, то:

Масса каждого раствора: 2500 г

Общая масса: 5000 г

Плотность пены: 1000 г/л

Тогда плотность будет равна:

1. Масса пены: 5000 г (два раствора) + 200 г (воздух) = 5200 г.
2. Плотность пены: 5200 г / 5 л = 1040 г/л.

Ответ: 1040 г/л (если учитывать воздух)

Но так как в условии сказано, что в сосуде уже был воздух, то логичнее считать первый ответ.

Поэтому верный ответ: 1090.91 г/л (если учитывать только растворы)