Контрольные задания > в) В треугольнике АВС ВК - биссектриса. Найдите АС, если АК = 37.
Вопрос:

в) В треугольнике АВС ВК - биссектриса. Найдите АС, если АК = 37.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение:

Метод: Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Если BK - биссектриса угла ABC, то AK/KC = AB/BC. На чертеже показано, что K - точка на стороне AC. Следовательно, BK является биссектрисой угла ABC, и делит сторону AC на отрезки AK и KC. Нам дано, что AK = 37. Однако, для нахождения AC, нам нужно знать длину отрезка KC, либо соотношение сторон AB и BC, либо другие углы. Без дополнительной информации (например, длины BC, или значений углов ∠BAC, ∠BCA, или ∠ABC, или соотношения AB/BC) задача не может быть решена. На чертеже также есть обозначение прямого угла около вершины K, которое относится к высоте. Но по условию BK - биссектриса. Если предположить, что чертеж соответствует пункту 'в', и BK - биссектриса, то K лежит на AC. Если угол у K прямой, то BK - высота. Если BK - и биссектриса, и высота, то треугольник ABC равнобедренный с AB=BC. В этом случае AK=KC. Если AK = 37, то KC = 37, и AC = AK + KC = 37 + 37 = 74.

Пошаговое решение:

  1. По условию, BK является биссектрисой треугольника ABC. Это означает, что она делит угол ABC на два равных угла: ∠ABK = ∠KBC.
  2. По теореме о биссектрисе угла треугольника, биссектриса делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. В данном случае, биссектриса BK делит сторону AC на отрезки AK и KC. Следовательно:
$$\frac{AK}{KC} = \frac{AB}{BC}$$
  1. Нам дано, что AK = 37.
  2. Для нахождения AC = AK + KC, нам необходимо знать длину отрезка KC, либо соотношение сторон AB и BC.
  3. Если мы рассмотрим чертеж, и предположим, что K является точкой на стороне AC, и угол, отмеченный прямым углом, относится к высоте, проведенной из некоторой вершины к стороне AC, то это противоречит условию, что BK - биссектриса.
  4. Однако, если предположить, что BK является одновременно и биссектрисой, и высотой, проведенной из вершины B к стороне AC, то это возможно только в случае, если треугольник ABC является равнобедренным с AB = BC.
  5. В равнобедренном треугольнике биссектриса, проведенная из вершины, противолежащей основанию, является также и медианой. Это означает, что она делит основание AC пополам.
  6. Если BK - биссектриса и высота, и AB = BC, то K является серединой AC.
  7. Следовательно, AK = KC.
  8. По условию, AK = 37.
  9. Если AK = KC, то KC = 37.
  10. Тогда AC = AK + KC = 37 + 37 = 74.

Ответ: 74

ГДЗ по фото 📸

Похожие