Контрольные задания > б) В треугольнике АВС АК=КС=3. Найдите угол АВС, если угол АВК=24°
Вопрос:

б) В треугольнике АВС АК=КС=3. Найдите угол АВС, если угол АВК=24°

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение:

Метод: Если AK = KC, то K — середина стороны AC. Если BK является медианой, идущей из вершины B к середине стороны AC, и в треугольнике ABC угол B равен 90 градусам, то медиана BK равна половине гипотенузы AC. В данном случае, если BK — медиана, то AB=BC. Однако, по условию AK=KC=3, что делает K серединой AC. Если BK — медиана, и AK=KC, то AC = 6. Если угол ABC = 90 градусов, то медиана BK = AC/2 = 3. Это означает, что треугольник ABC прямоугольный. В прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если BK = 3, и AC = 6, и K — середина AC, то это верно. Если угол ABC = 90, то треугольник ABC прямоугольный. В прямоугольном треугольнике медиана к гипотенузе равна половине гипотенузы. BK = AC/2 = 6/2 = 3. Значит, треугольник ABC прямоугольный, и угол ABC = 90 градусов. Тогда угол ABK = 90 - угол KBC. Если BK - медиана, то BK = AK = KC = 3. Треугольник ABK равнобедренный, так как AK = BK = 3. Треугольник KBC равнобедренный, так как KC = BK = 3. В равнобедренном треугольнике ABK, углы при основании AB равны. Угол KAB = угол KBA = 24°. Угол ABC = угол ABK + угол KBC. В равнобедренном треугольнике KBC, угол KCB = угол KBC. Угол ACB = угол KCB. В треугольнике ABC, сумма углов равна 180°. ∠BAC + ∠ABC + ∠BCA = 180°. 24° + ∠ABC + ∠BCA = 180°. Из равнобедренного треугольника KBC, ∠KBC = ∠KCB = ∠BCA. В треугольнике ABK, ∠AKB = 180° - (24°+24°) = 180° - 48° = 132°. Угол BKC - развернутый, ∠BKC = 180°. ∠BKC = ∠AKB + ∠AKC? Нет. Угол BKC = 180° - ∠AKB = 180° - 132° = 48°. В треугольнике KBC, ∠KBC = ∠KCB = (180° - 48°) / 2 = 132° / 2 = 66°. Тогда ∠ABC = ∠ABK + ∠KBC = 24° + 66° = 90°.

Пошаговое решение:

  1. По условию, AK = KC = 3. Это означает, что точка K является серединой стороны AC. Следовательно, BK является медианой треугольника ABC.
  2. Длина стороны AC = AK + KC = 3 + 3 = 6.
  3. В треугольнике ABK, AK = 3 и ∠ABK = 24°.
  4. Рассмотрим треугольник ABC. Если BK является медианой к стороне AC, и AK = KC, то мы можем использовать свойство медианы в прямоугольном треугольнике, если бы угол ABC был 90°.
  5. Если предположить, что треугольник ABC — прямоугольный с прямым углом B, то медиана BK, проведенная к гипотенузе AC, равна половине гипотенузы. AC = 6, значит BK = 6/2 = 3.
  6. Если BK = 3, то треугольник ABK равнобедренный (AK = BK = 3).
  7. В равнобедренном треугольнике ABK, углы при основании AB равны. Угол KAB = ∠ABK = 24°.
  8. Угол ABC = ∠ABK + ∠KBC.
  9. В равнобедренном треугольнике KBC (KC = BK = 3), углы при основании BC равны. Угол KCB = ∠KBC.
  10. Сумма углов в треугольнике ABK равна 180°. ∠AKB = 180° - (∠KAB + ∠ABK) = 180° - (24° + 24°) = 180° - 48° = 132°.
  11. Угол BKC смежный с углом AKB, поэтому ∠BKC = 180° - ∠AKB = 180° - 132° = 48°.
  12. В треугольнике KBC, сумма углов равна 180°. ∠KBC + ∠KCB + ∠BKC = 180°. Так как ∠KBC = ∠KCB, то 2 * ∠KBC + 48° = 180°.
  13. 2 * ∠KBC = 180° - 48° = 132°.
  14. ∠KBC = 132° / 2 = 66°.
  15. Угол ABC = ∠ABK + ∠KBC = 24° + 66° = 90°.

Ответ: 90°

ГДЗ по фото 📸

Похожие