В1. В прямоугольном треугольнике АВС угол между биссектрисой СК и высотой СН, проведенными из вершины прямого угла С, равен 15°. АВ = 12 см. Найдите сторону ВС, если известно, что точка К лежит между А и Н.

Пусть \(\angle HCK = 15^{\circ}\). В прямоугольном треугольнике высота \(CH\) делит прямой угол \(C\) на два угла: \(\angle ACH = \alpha\) и \(\angle BCH = 90^{\circ} - \alpha\). Биссектриса \(CK\) делит прямой угол \(C\) пополам, следовательно, \(\angle ACK = \angle BCK = 45^{\circ}\). Тогда \(\angle HCK = |\angle ACH - \angle ACK| = |\alpha - 45^{\circ}| = 15^{\circ}\). Отсюда \(\alpha = 45^{\circ} \pm 15^{\circ}\), то есть \(\alpha = 60^{\circ}\) или \(\alpha = 30^{\circ}\). Если \(\angle ACH = 60^{\circ}\), то \(\angle BCH = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\). Тогда \(\angle A = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}\) и \(\angle B = 30^{\circ}\). Если \(\angle ACH = 30^{\circ}\), то \(\angle BCH = 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}\). Тогда \(\angle A = 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}\) и \(\angle B = 60^{\circ}\). Так как точка \(K\) лежит между \(A\) и \(H\), то \(\angle A = 30^{\circ}\) и \(\angle B = 60^{\circ}\). Тогда \(BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6\) см. Ответ: 6 см