1. В тупоугольном треугольнике АВС известно, что АС = ВС = √41, высота АН равна 4. Найдите tg ∠ACB.

В тупоугольном треугольнике АВС, АС = ВС = √41, высота АН = 4. Найти tg ∠АСВ.

Решение:

1) Рассмотрим треугольник АНС - прямоугольный, так как АН - высота.

2) По теореме Пифагора найдем НС:

$$ AC^2 = AH^2 + HC^2 $$ $$ HС = \sqrt{AC^2 - AH^2} = \sqrt{(\sqrt{41})^2 - 4^2} = \sqrt{41 - 16} = \sqrt{25} = 5 $$

3) Так как треугольник АВС - равнобедренный, то высота АН является и медианой, то есть НС = НВ. Тогда АВ = 2НС = 2 * 5 = 10.

4) По теореме косинусов найдем косинус угла АСВ:

$$ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos∠ACB $$ $$ cos∠ACB = \frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 * AC * BC} = \frac{(\sqrt{41})^2 + (\sqrt{41})^2 - 10^2}{2 * \sqrt{41} * \sqrt{41}} = \frac{41 + 41 - 100}{2 * 41} = \frac{82 - 100}{82} = \frac{-18}{82} = -\frac{9}{41} $$

5) Синус угла АСВ найдем, зная основное тригонометрическое тождество:

$$ sin^2α + cos^2α = 1 $$ $$ sin∠ACB = \sqrt{1 - cos^2∠ACB} = \sqrt{1 - (-\frac{9}{41})^2} = \sqrt{1 - \frac{81}{1681}} = \sqrt{\frac{1681 - 81}{1681}} = \sqrt{\frac{1600}{1681}} = \frac{40}{41} $$

6) Тангенс угла АСВ найдем как отношение синуса к косинусу:

$$ tg∠ACB = \frac{sin∠ACB}{cos∠ACB} = \frac{\frac{40}{41}}{-\frac{9}{41}} = -\frac{40}{9} = -4\frac{4}{9} $$

Ответ: -4.44