3. Цилиндр и конус имеют общие основание и высоту (см. рис. 109). Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна 7√2. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

Цилиндр и конус имеют общее основание и высоту. Высота цилиндра равна радиусу основания. Площадь боковой поверхности конуса равна $$7\sqrt{2}$$. Найти площадь боковой поверхности цилиндра.

Решение:

1) Площадь боковой поверхности конуса находится по формуле:

$$ S_{бок.кон} = πRl, $$

где R - радиус основания, l - образующая конуса.

2) Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле:

$$ S_{бок.цил} = 2πRh, $$

где R - радиус основания, h - высота цилиндра.

3) По условию высота цилиндра равна радиусу основания, то есть h = R, тогда

$$ S_{бок.цил} = 2πR^2 $$

4) Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой конуса, радиусом основания и образующей конуса. По теореме Пифагора:

$$ l^2 = R^2 + h^2 = R^2 + R^2 = 2R^2 $$ $$ l = \sqrt{2R^2} = R\sqrt{2} $$

5) Подставим значение образующей в формулу площади боковой поверхности конуса:

$$ 7\sqrt{2} = πR * R\sqrt{2} $$ $$ πR^2 = 7 $$

6) Найдем площадь боковой поверхности цилиндра:

$$ S_{бок.цил} = 2πR^2 = 2 * 7 = 14 $$

Ответ: 14