3. В цилиндрический сосуд налили 5000 см³ воды. Уровень воды при этом достигает высоты 14 см. В жидкость полностью погрузили де- таль. При этом уровень жидкости в сосуде поднялся на 7 см. Чему равен объем детали? Ответ выразите в см³

3. Дано: цилиндрический сосуд, начальный объем воды $$V_1 = 5000$$ см³, начальная высота $$h_1 = 14$$ см, изменение высоты $$\Delta h = 7$$ см.

Найти: объем детали $$V_{\text{детали}}$$.

Решение:

1. Найдем объем воды после погружения детали. Высота воды увеличилась на 7 см, значит, новая высота $$h_2 = h_1 + \Delta h = 14 + 7 = 21$$ см.
2. Объем воды и детали равен $$V_2 = V_1 + V_{\text{детали}}$$.
3. Объем цилиндра (сосуда) вычисляется по формуле $$V = \pi r^2 h$$, где $$r$$ - радиус основания цилиндра, $$h$$ - высота.
4. Так как сосуд цилиндрический, радиус основания не меняется. Выразим $$\pi r^2$$ через начальные условия: $$\pi r^2 = \frac{V_1}{h_1} = \frac{5000}{14}$$ см².
5. Найдем объем воды и детали: $$V_2 = \pi r^2 h_2 = \frac{5000}{14} \cdot 21 = 5000 \cdot \frac{21}{14} = 5000 \cdot \frac{3}{2} = 7500$$ см³.
6. Объем детали равен разнице объемов: $$V_{\text{детали}} = V_2 - V_1 = 7500 - 5000 = 2500$$ см³.

Ответ: 2500 см³