13. В треугольнике RCZ стороны RC и CZ равны, угол С равен 110°. Биссектрисы углов ВиZ пересекаются в точке О. Найдите величину угла ROZ. Ответ дайте в градусах. Запишите решение и ответ.

Ответ:

В треугольнике RCZ стороны RC и CZ равны, следовательно, треугольник RCZ - равнобедренный с основанием RZ. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, то есть \(\angle CRZ = \angle CZR\). Сумма углов в треугольнике равна 180°. Следовательно, \[ \angle CRZ + \angle CZR + \angle RCZ = 180^\circ \] \[ \angle CRZ + \angle CZR = 180^\circ - 110^\circ = 70^\circ \] \[ \angle CRZ = \angle CZR = \frac{70^\circ}{2} = 35^\circ \] Так как RO и ZO - биссектрисы углов CRZ и CZR соответственно, то \[ \angle ORZ = \frac{1}{2} \angle CRZ = \frac{1}{2} \cdot 35^\circ = 17.5^\circ \] \[ \angle OZR = \frac{1}{2} \angle CZR = \frac{1}{2} \cdot 35^\circ = 17.5^\circ \] Рассмотрим треугольник ROZ. Сумма углов в этом треугольнике равна 180°. \[ \angle ROZ + \angle ORZ + \angle OZR = 180^\circ \] \[ \angle ROZ = 180^\circ - \angle ORZ - \angle OZR = 180^\circ - 17.5^\circ - 17.5^\circ = 180^\circ - 35^\circ = 145^\circ \] Ответ: \(\angle ROZ = 145^\circ\).