В треугольнике MPK угол P равен 35° (см. рис. 268), угол K равен 95°, MB — биссектриса, E — такая точка на MP, что ME = MK. Найдите угол PBE. Ответ дайте в градусах.

Рассмотрим треугольник MPK. Известно, что ∠P = 35°, ∠K = 95°. Найдем угол M:

$$∠M = 180° - (∠P + ∠K) = 180° - (35° + 95°) = 180° - 130° = 50°$$

MB - биссектриса угла M, значит ∠MBP = ∠MBK = ∠M / 2 = 50° / 2 = 25°.

Рассмотрим треугольник MKE. Так как ME = MK, то треугольник MKE - равнобедренный. Значит, углы при основании ME равны: ∠MEK = ∠MKE = (180° - ∠M) / 2 = (180° - 50°) / 2 = 130° / 2 = 65°.

Угол KEP - смежный с углом MEK, поэтому ∠KEP = 180° - ∠MEK = 180° - 65° = 115°.

Рассмотрим треугольник KEP. В нем ∠KEP = 115°, ∠P = 35°. Найдем угол EKP:

$$∠EKP = 180° - (∠KEP + ∠P) = 180° - (115° + 35°) = 180° - 150° = 30°$$

Тогда ∠BKP = ∠MKE - ∠BKM = 65 - 25 = 40.

Найдем угол PBE. Угол PBE можно найти, зная, что сумма углов в треугольнике равна 180°.

Рассмотрим треугольник PBE. Известно, что ∠P = 35°, ∠MBP = 25°. Следовательно, ∠PBE = 180° - (∠P + ∠MBP) = 180° - (35° + 25°) = 180° - 60° = 120°.

Ответ: 120°