5. В треугольнике MNP MN = 14 см, МР = 13 см, NP = 15 см. Найти площадь треугольника MNP и высоту РК, проведенную к стороне MN.

Ответ: S = 84 см², PK = 12 см

Шаг 1: Найдём полупериметр треугольника.
Полупериметр равен полусумме всех сторон: p = (MN + MP + NP) / 2 = (14 + 13 + 15) / 2 = 42 / 2 = 21 см.
Шаг 2: Вычислим площадь треугольника по формуле Герона.
S = \(\sqrt{p(p - MN)(p - MP)(p - NP)}\) = \(\sqrt{21(21 - 14)(21 - 13)(21 - 15)}\) = \(\sqrt{21 * 7 * 8 * 6}\) = \(\sqrt{3 * 7 * 7 * 2^3 * 2 * 3}\) = \(\sqrt{2^4 * 3^2 * 7^2}\) = 2^2 * 3 * 7 = 4 * 21 = 84 см².
Шаг 3: Найдём высоту РК.
Площадь треугольника также может быть выражена как S = (1/2) * MN * PK. Отсюда PK = (2 * S) / MN = (2 * 84) / 14 = 168 / 14 = 12 см.

Ответ: S = 84 см², PK = 12 см