1. В треугольнике $$MNP$$ через точку $$A$$, середину стороны $$MN$$, проведена прямая $$AB \parallel MP$$. Найдите отношение $$NB : BP$$, если точка $$B$$ лежит на стороне $$NP$$. 2. Стороны треугольника равны 5 см, 12 см и 14 см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого служат середины сторон данного треугольника. 3. В параллелограмме $$MNPQ$$ $$S$$ — точка пересечения диагоналей, $$R$$ — середина стороны $$MN$$. Известно, что $$SR = 5$$ см, $$RN = 2$$ см. Найдите периметр $$MNPQ$$.

1. В треугольнике $$MNP$$ через точку $$A$$, середину стороны $$MN$$, проведена прямая $$AB \parallel MP$$. Найдите отношение $$NB : BP$$, если точка $$B$$ лежит на стороне $$NP$$.

Так как $$A$$ – середина $$MN$$ и $$AB \parallel MP$$, то $$AB$$ – средняя линия треугольника $$MNP$$. По свойству средней линии треугольника, она равна половине основания, то есть $$AB = \frac{1}{2}MP$$. Также средняя линия делит боковые стороны пополам. Следовательно, $$NB = BP$$, а отношение $$NB : BP = 1:1$$.

Ответ: 1:1

2. Стороны треугольника равны 5 см, 12 см и 14 см. Найдите стороны треугольника, вершинами которого служат середины сторон данного треугольника.

Пусть дан треугольник $$ABC$$ со сторонами $$AB = 5$$ см, $$BC = 12$$ см и $$AC = 14$$ см. Пусть $$D$$, $$E$$ и $$F$$ – середины сторон $$AB$$, $$BC$$ и $$AC$$ соответственно. Тогда $$DE$$, $$EF$$ и $$FD$$ – средние линии треугольника $$ABC$$. По свойству средней линии треугольника, она равна половине стороны, которой параллельна.

Сторона $$DE$$ параллельна $$AC$$ и равна её половине: $$DE = \frac{1}{2}AC = \frac{1}{2} \cdot 14 = 7$$ см.

Сторона $$EF$$ параллельна $$AB$$ и равна её половине: $$EF = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5$$ см.

Сторона $$FD$$ параллельна $$BC$$ и равна её половине: $$FD = \frac{1}{2}BC = \frac{1}{2} \cdot 12 = 6$$ см.

Ответ: Стороны треугольника, вершинами которого служат середины сторон данного треугольника, равны 7 см, 2.5 см и 6 см.

3. В параллелограмме $$MNPQ$$ $$S$$ – точка пересечения диагоналей, $$R$$ – середина стороны $$MN$$. Известно, что $$SR = 5$$ см, $$RN = 2$$ см. Найдите периметр $$MNPQ$$.

Так как $$R$$ – середина $$MN$$, то $$MN = 2RN = 2 \cdot 2 = 4$$ см. $$MN = QP = 4$$ см.

В параллелограмме диагонали точкой пересечения делятся пополам. $$MS = SQ$$, $$NS = SP$$. Так как $$R$$ – середина $$MN$$, то $$SR$$ – медиана треугольника $$MSN$$. Продлим медиану $$SR$$ на отрезок $$RT = SR$$, тогда $$MTSN$$ – параллелограмм, так как диагонали точкой пересечения делятся пополам. Значит, $$MT = SN$$. В треугольнике $$MTS$$, $$MT = SN$$, $$MS = NT$$, $$TS = 2SR = 2 \cdot 5 = 10$$ см.

В параллелограмме $$MNPQ$$ противоположные стороны равны. Следовательно, $$MN = QP$$ и $$MQ = NP$$. Так как $$S$$ – точка пересечения диагоналей, то $$MS = \frac{1}{2}MP$$ и $$NS = \frac{1}{2}NQ$$. Рассмотрим треугольник $$MNS$$: $$MN = 4$$ см, $$SR = 5$$ см. В треугольнике $$MNP$$, $$SR$$ — средняя линия, так как $$R$$ — середина $$MN$$, $$S$$ — середина $$MP$$. Значит, $$NP = 2SR = 2 \cdot 5 = 10$$ см. $$MQ = NP = 10$$ см.

Периметр параллелограмма $$MNPQ$$ равен $$P = 2(MN + NP) = 2(4 + 10) = 2 \cdot 14 = 28$$ см.

Ответ: Периметр $$MNPQ$$ равен 28 см.