В треугольнике АВС угол C равен 90°, АС = 5, $$\cos A = \frac{5\sqrt{61}}{61}$$. Найдите длину стороны ВС.

Краткое пояснение:

В прямоугольном треугольнике длина стороны ВС может быть найдена через тригонометрическую функцию тангенса угла А. Для этого нам сначала необходимо найти значение $$\sin A$$, используя основное тригонометрическое тождество.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Используем основное тригонометрическое тождество \( \sin^2 A + \cos^2 A = 1 \) для нахождения \( \sin A \).
   \( \sin^2 A = 1 - \cos^2 A \)
   \( \sin^2 A = 1 - \left(\frac{5\sqrt{61}}{61}\right)^2 \)
   \( \sin^2 A = 1 - \frac{25 \cdot 61}{61^2} \)
   \( \sin^2 A = 1 - \frac{25}{61} \)
   \( \sin^2 A = \frac{61 - 25}{61} \)
   \( \sin^2 A = \frac{36}{61} \)
   \( \sin A = \sqrt{\frac{36}{61}} = \frac{6}{\sqrt{61}} = \frac{6\sqrt{61}}{61} \) (так как угол А в прямоугольном треугольнике острый, \( \sin A \) положителен).
2. Шаг 2: Найдем значение \( \tan A \) по формуле \( \tan A = \frac{\sin A}{\cos A} \).
   \( \tan A = \frac{\frac{6\sqrt{61}}{61}}{\frac{5\sqrt{61}}{61}} = \frac{6\sqrt{61}}{61} \times \frac{61}{5\sqrt{61}} = \frac{6}{5} \).
3. Шаг 3: В прямоугольном треугольнике \( \tan A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{BC}{AC} \).
   \( \frac{BC}{5} = \frac{6}{5} \).
4. Шаг 4: Решаем уравнение для нахождения \( BC \).
   \( BC = 5 \times \frac{6}{5} \)
   \( BC = 6 \).

Ответ: 6