В треугольнике АВС угол АВС равен 120°, AB = BC, BМ - медиана. На луче ВМ отметили точку F такую, что ∠BAF = 90°. Найдите FM, если АВ = 42

Так как AB = BC, то треугольник ABC равнобедренный. BM - медиана, проведенная к основанию AC, а значит, она также является высотой и биссектрисой. Следовательно, ∠ABM = ∠CBM = 120° / 2 = 60°.

Рассмотрим треугольник ABM. В нем ∠ABM = 60°, ∠AMB = 90°. Тогда ∠BAM = 180° - 90° - 60° = 30°.

Рассмотрим треугольник BAF. ∠BAF = 90°, ∠ABF = ∠ABM = 60°. Тогда ∠AFB = 180° - 90° - 60° = 30°.

Так как в треугольнике BAF, ∠AFB = 30° и ∠BAM = 30°, то треугольник ABF равнобедренный с основанием BF. Следовательно, AB = AF = 42.

Так как BM - медиана, то AM = MC. В прямоугольном треугольнике ABM катет AM, лежащий против угла 30°, равен половине гипотенузы AB: AM = AB / 2 = 42 / 2 = 21.

Рассмотрим треугольник AMF. В нем AM = 21, AF = 42, ∠MAF = 90°. Тогда FM можно найти по теореме Пифагора:

$$FM = \sqrt{AF^2 - AM^2} = \sqrt{42^2 - 21^2} = \sqrt{1764 - 441} = \sqrt{1323} = 21\sqrt{3}$$

Так как ∠ABM = 60°, а ∠BAF = 90°, то точка F лежит на продолжении медианы BM за точку M. Следовательно, FM = BF + BM.

Ответ: $$21\sqrt{3}$$