4. В треугольнике АВС сторона АВ = 13 см, ВС = 14 см, АС = 15 см. Найдите площадь треугольника АВС: 1) вычислив сначала высоту к стороне АС; 2) используя формулу Герона.

1) Вычислим сначала высоту к стороне АС:

Пусть высота, проведенная к стороне AC, равна BH = h. Обозначим AH = x, тогда HC = 15 - x.

Из прямоугольного треугольника ABH:

$$h^2 = AB^2 - x^2 = 13^2 - x^2 = 169 - x^2$$

Из прямоугольного треугольника BHC:

$$h^2 = BC^2 - (15 - x)^2 = 14^2 - (15 - x)^2 = 196 - (225 - 30x + x^2)$$

Приравняем два выражения для h^2:

$$169 - x^2 = 196 - 225 + 30x - x^2$$

$$169 = 196 - 225 + 30x$$

$$169 = -29 + 30x$$

$$30x = 198$$

$$x = \frac{198}{30} = 6.6$$

Тогда:

$$h^2 = 169 - (6.6)^2 = 169 - 43.56 = 125.44$$

$$h = \sqrt{125.44} = 11.2$$

Площадь треугольника:

$$S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 15 \cdot 11.2 = 84$$

2) Используя формулу Герона:

Полупериметр:

$$p = \frac{AB + BC + AC}{2} = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$$

Площадь:

$$S = \sqrt{p(p - AB)(p - BC)(p - AC)} = \sqrt{21(21 - 13)(21 - 14)(21 - 15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84$$

Ответ: 84 кв.см