В треугольнике АВС с тупым углом АСВ проведены высоты АА, И ВВ1. Докажите, что треугольники А₁СВ₁ и АСВ подобны.

Дано: Треугольник ABC с тупым углом \(\angle ACB\), высоты AA₁ и BB₁. Доказать: \(\triangle A_1CB_1 \sim \triangle ACB\). Доказательство: Рассмотрим треугольники \(\triangle ACA_1\) и \(\triangle BCB_1\). 1. \(\angle AA_1C = 90^\circ\) (так как AA₁ - высота) 2. \(\angle BB_1C = 90^\circ\) (так как BB₁ - высота) Тогда точки A₁, B₁ лежат на окружности с диаметром AC. Рассмотрим четырехугольник \(A_1AB_1B\). Сумма углов \(\angle AA_1C + \angle BB_1C = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ\), следовательно, четырехугольник \(A_1AB_1B\) - вписанный. Углы \(\angle BAA_1\) и \(\angle BB_1A_1\) опираются на одну и ту же дугу \(A_1B\), следовательно, они равны: \(\angle BAA_1 = \angle BB_1A_1\). Рассмотрим треугольники \(\triangle A_1CB_1\) и \(\triangle ACB\): 1. Угол \(\angle C\) - общий. 2. \(\angle CA_1B_1 = \angle CBA\) (так как \(A_1AB_1B\) - вписанный четырехугольник, углы \(\angle CA_1B_1\) и \(\angle CBA\) опираются на одну и ту же дугу). Следовательно, \(\triangle A_1CB_1 \sim \triangle ACB\) по двум углам. Что и требовалось доказать.