В треугольнике АВС с прямым углом С высота СН, проведенная к гипотенузе равна 5√3 см, а отрезок АН равен 15 см. Найдите острые углы прямоугольного треугольника.

1. В прямоугольном треугольнике квадрат высоты, проведенной к гипотенузе, равен произведению отрезков, на которые она делит гипотенузу: $$CH^2 = AH \cdot HB$$.

2. Найдем отрезок $$HB$$: $$(5\sqrt{3})^2 = 15 \cdot HB \implies 75 = 15 \cdot HB \implies HB = 5$$ см.

3. Гипотенуза $$AB = AH + HB = 15 + 5 = 20$$ см. Найдем катет $$AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{15^2 + (5\sqrt{3})^2} = \sqrt{225 + 75} = \sqrt{300} = 10\sqrt{3}$$ см.

4. Найдем острые углы: $$\sin A = \frac{CH}{AC} = \frac{5\sqrt{3}}{10\sqrt{3}} = 0.5$$, следовательно, угол $$A = 30^\circ$$. Угол $$B = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$$.