В треугольнике АВС проведена биссектриса АК. Найдите градусную меру угла В, если ∠C= 16° и АК = CK.

Ответ: ∠B = 32°

Разбираемся:

1. По условию, AK - биссектриса ∠A, значит ∠BAK = ∠KAC. Обозначим их как x.

2. Рассмотрим треугольник ACK. Так как AK = CK, то он равнобедренный, и углы при основании равны: ∠KAC = ∠AKC = x.

3. Теперь рассмотрим треугольник ABC. Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, ∠A + ∠B + ∠C = 180°.

4. Выразим ∠A как 2x, а ∠C нам известен (16°). Получаем уравнение: 2x + ∠B + 16° = 180°.

5. Также рассмотрим треугольник AKC. Сумма его углов тоже равна 180°, поэтому x + x + ∠ACK = 180°, или 2x + ∠AKC = 180°.

6. Выразим угол ∠AKC через углы треугольника ABC. Угол ∠AKC является внешним углом треугольника ABK и равен сумме двух углов, не смежных с ним, то есть ∠AKC = ∠ABK + ∠BAK, или x = ∠B + x.

7. Таким образом, ∠B = х.

8. Подставляем полученные значения в уравнение для треугольника ABC: 2x + ∠B + 16° = 180°.

9. ∠B = х, тогда 2x + х + 16° = 180°.

10. Получаем 3x = 180° - 16°, значит 3x = 164°.

11. x = \(\frac{164}{5}\)°. Угол В равен х, значит ∠B = \(\frac{164}{5}\)° = 32°.

Ответ: ∠B = 32°