5. В треугольнике АВС периметр равен 20 см, длины двух его сторон находятся в соотношении 2 : 5. Докажите, что третья сторона данного треугольника больше 6 см.

Ответ: Третья сторона больше 6 см.

Пусть длины двух сторон треугольника ABC равны 2x и 5x. Тогда третья сторона будет равна 20 - (2x + 5x) = 20 - 7x.

Для существования треугольника необходимо, чтобы сумма любых двух сторон была больше третьей стороны. Запишем неравенства:

• 2x + 5x > 20 - 7x
• 2x + (20 - 7x) > 5x
• 5x + (20 - 7x) > 2x

Решаем первое неравенство: 7x > 20 - 7x; 14x > 20; x > 20/14; x > 10/7.

Решаем второе неравенство: 2x + 20 - 7x > 5x; 20 > 10x; x < 2.

Решаем третье неравенство: 5x + 20 - 7x > 2x; 20 > 4x; x < 5.

Таким образом, 10/7 < x < 2.

Найдем третью сторону: 20 - 7x. Чтобы доказать, что третья сторона больше 6, нужно показать, что 20 - 7x > 6. Это эквивалентно 7x < 14, или x < 2, что соответствует одному из наших условий.

Так как x > 10/7, то 7x > 10, и 20 - 7x < 10. Но нам нужно доказать, что третья сторона больше 6.

Возьмем наименьшее возможное значение x, большее 10/7, например, x = 1.5. Тогда стороны будут равны 2x = 3, 5x = 7.5, а третья сторона равна 20 - (3 + 7.5) = 20 - 10.5 = 9.5, что больше 6.

Ответ: Третья сторона больше 6 см.