12. В треугольнике АВС на сторонах AB и BC отмечены точки M и К соответственно так, что ВМ: AB = 1 : 2, a ВК: ВС = 5:7. Во сколько раз площадь треугольника АВС больше площади треугольника МВК?

Ответ: 1.4

Разбираемся:

• Площадь треугольника можно выразить как половину произведения двух сторон на синус угла между ними.
• Отношение площадей треугольников ABC и MBK равно отношению произведений сторон, образующих угол B:

\[\frac{S_{ABC}}{S_{MBK}} = \frac{AB \cdot BC}{MB \cdot BK}\]

• Из условия известно, что BM:AB = 1:2, следовательно, \(\frac{AB}{MB} = 2\)
• Также известно, что BK:BC = 5:7, следовательно, \(\frac{BC}{BK} = \frac{7}{5}\)
• Подставляем известные значения в формулу отношения площадей:

\[\frac{S_{ABC}}{S_{MBK}} = 2 \cdot \frac{7}{5} = \frac{14}{5} = 2.8\]

Ответ: 2.8