25. В треугольнике АВС известны длины сторон АВ=45, АС=75, точка О - центр окружности, описанной около треугольника АВС. Прямая BD, перпендикулярная прямой АО, пересекает сторону АС в точке D. Найдите CD.

Точка O - центр окружности, описанной около треугольника ABC. Прямая BD перпендикулярна прямой AO. Найдем CD.

Т.к. BD перпендикулярна AO, то угол между ними равен 90 градусов. Т.к. AO - радиус описанной окружности, то AO = BO = CO.

Рассмотрим треугольник ABO. Он равнобедренный, следовательно, углы при основании равны, то есть угол BAO = углу ABO.

Рассмотрим треугольник ACO. Он равнобедренный, следовательно, углы при основании равны, то есть угол CAO = углу ACO.

Пусть угол BAO = углу ABO = x, угол CAO = углу ACO = y. Тогда угол BAC = x + y.

Т.к. BD перпендикулярна AO, то угол между BD и AO равен 90 градусов. Следовательно, угол ABO + угол OBD = 90 градусов, то есть x + угол OBD = 90 градусов. Отсюда угол OBD = 90 - x.

Рассмотрим треугольник ABD. Угол BAD = x + y, угол ABD = 90 - x. Тогда угол ADB = 180 - (x + y) - (90 - x) = 180 - x - y - 90 + x = 90 - y.

Т.к. угол ADB = 90 - y, а угол ACO = y, то угол ADC = 180 - (90 - y) = 90 + y. Тогда угол DCA = y. Следовательно, треугольник ADC подобен треугольнику ABC.

Составим отношение:

$$\frac{AC}{AB} = \frac{CD}{AC}$$

$$CD = \frac{AC^2}{AB} = \frac{75^2}{45} = \frac{75 \cdot 75}{45} = \frac{15 \cdot 5 \cdot 15 \cdot 5}{15 \cdot 3} = \frac{5 \cdot 15 \cdot 5}{3} = \frac{375}{3} = 125$$

Ответ: 125