В треугольнике АВС известно, что АС = BC, AB=14, tg A = \(\frac{4\sqrt{2}}{7}\). Найдите длину стороны АС.

Решение:

Так как \( AC = BC \), треугольник \( ABC \) является равнобедренным.

Проведём высоту \( CH \) из вершины \( C \) к основанию \( AB \). В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Поэтому \( AH = HB = \frac{AB}{2} = \frac{14}{2} = 7 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник \( ACH \). В нём \( \angle AHC = 90^{\circ} \).

Из условия задачи известно, что \( \text{tg } A = \frac{4\sqrt{2}}{7} \).

В прямоугольном треугольнике \( ACH \) тангенс угла \( A \) равен отношению противолежащего катета \( CH \) к прилежащему катету \( AH \):

\( \text{tg } A = \frac{CH}{AH} \)

Подставим известные значения:

\( \frac{4\sqrt{2}}{7} = \frac{CH}{7} \)

Отсюда найдём длину катета \( CH \):

\( CH = 7 \cdot \frac{4\sqrt{2}}{7} = 4\sqrt{2} \).

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника \( ACH \):

\( AC^2 = AH^2 + CH^2 \)

Подставим найденные значения \( AH = 7 \) и \( CH = 4\sqrt{2} \):

\( AC^2 = 7^2 + (4\sqrt{2})^2 \)

\( AC^2 = 49 + (16 \cdot 2) \)

\( AC^2 = 49 + 32 \)

\( AC^2 = 81 \)

Извлечём квадратный корень, чтобы найти длину стороны \( AC \):

\( AC = \sqrt{81} = 9 \).

Ответ: Длина стороны \( AC \) равна 9.