12. В треугольнике АВС известно, что ∠C = 90°. Докажите, что: 1) прямая ВС является касательной к окружности с центром А, проходящей через точку С; 2) прямая АВ не является касательной к окружности с цен- тром С, проходящей через точку А.

Ответ: доказательство в решении

1. Докажем, что прямая BC является касательной к окружности с центром A, проходящей через точку C.

   В треугольнике ABC угол C прямой, то есть ∠C = 90°. Окружность с центром в точке A проходит через точку C, следовательно, AC является радиусом этой окружности. Так как ∠C = 90°, то AC перпендикулярна BC. Прямая BC перпендикулярна радиусу AC в точке C, лежащей на окружности. Следовательно, BC является касательной к окружности с центром A.

2. Докажем, что прямая AB не является касательной к окружности с центром C, проходящей через точку A.

   Окружность с центром C проходит через точку A, значит, CA является радиусом этой окружности. Прямая AB не перпендикулярна CA (так как ∠C = 90°, то ∠A ≠ 90°). Прямая AB не перпендикулярна радиусу CA, следовательно, AB не является касательной к окружности с центром C.

Ответ: доказательство в решении