4. В треугольнике АВС известно, что ∠C= 90°, ∠A = 30°, отрезок ВМ — биссектриса треугольника. Найдите ка- тет АС, если ВМ = 6 см.

В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) известен угол A (∠A = 30°) и биссектриса BM, равная 6 см. Требуется найти катет AC.

Решение:

1. Найдем угол B: ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 30° - 90° = 60°.
2. Так как BM - биссектриса, ∠ABM = ∠CBM = ∠B / 2 = 60° / 2 = 30°.
3. В треугольнике ABM ∠A = ∠ABM = 30°, значит, треугольник ABM - равнобедренный, и AB = BM = 6 см.
4. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC лежит против угла B, равного 60°. AC = AB × sin(∠B) = 6 × sin(60°) = 6 × (√3 / 2) = 3√3 см.

Ответ: $$3\sqrt{3}$$ см