5. Известно, что ВС || AD, BF = = DE, ∠AED = ∠CFB (рис. 279). Докажите, что АВ || CD.

Дано: BC || AD, BF = DE, ∠AED = ∠CFB.

Доказать: AB || CD.

Доказательство:

1. Т.к. BF = DE, то BF + FE = DE + FE, следовательно, BE = DF.
2. Рассмотрим треугольники ΔAED и ΔCFB. В них:
   • AE = CF (т.к. ∠AED = ∠CFB по условию),
   • ∠AED = ∠CFB (по условию),
   • DE = BF (по условию).
3. Следовательно, ΔAED = ΔCFB по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
4. Из равенства треугольников следует равенство углов: ∠DAE = ∠BCF.
5. Т.к. BC || AD, то ∠BCA = ∠CAD как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC.
6. ∠BAC = ∠BCA + ∠DAE = ∠CAD + ∠BCF = ∠DCF.
7. Сумма односторонних углов ∠BAC и ∠ACD при прямых AB и CD и секущей AC равна 180°, ∠BAC + ∠ACD = ∠DAE + ∠CAD + ∠ACD = ∠DAE + 180° - ∠CDA, но это верно, только если ∠CDA = ∠CAD.
8. Тогда ∠BAC + ∠ACD = 180°, следовательно, AB || CD (по признаку параллельности прямых, если сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны).

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.