10. В треугольнике АВС АС = BC = 5, sinA=\frac{7}{25}. Найдите АВ.

Ответ: 9.6

Решение:

• В треугольнике ABC, AC = BC = 5, что означает, что треугольник равнобедренный.
• В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, то есть угол A равен углу B.
• Дано, что \[sinA = \frac{7}{25}\]
• Так как углы A и B равны, то \[sinB = sinA = \frac{7}{25}\]
• Используем теорему синусов: \[\frac{AB}{sinC} = \frac{AC}{sinB}\]
• Найдем угол C. Сумма углов в треугольнике равна 180 градусам или \(\pi\) радиан. Угол \(C = \pi - A - B\), где A и B равны, значит \(C = \pi - 2A\).
• Чтобы найти \(sinC\), нам нужно выразить его через известные значения. Используем формулу синуса двойного угла: \[sinC = sin(\pi - 2A) = sin(2A) = 2sinA \cdot cosA\]
• Найдем \(cosA\) из основного тригонометрического тождества: \[sin^2A + cos^2A = 1\] \[cosA = \sqrt{1 - sin^2A} = \sqrt{1 - (\frac{7}{25})^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}\]
• Теперь найдем \(sinC\): \[sinC = 2sinA \cdot cosA = 2 \cdot \frac{7}{25} \cdot \frac{24}{25} = \frac{336}{625}\]
• Подставим известные значения в теорему синусов: \[\frac{AB}{sinC} = \frac{AC}{sinB}\] \[\frac{AB}{\frac{336}{625}} = \frac{5}{\frac{7}{25}}\]
• Решим уравнение относительно AB: \[AB = \frac{5 \cdot \frac{336}{625}}{\frac{7}{25}} = \frac{5 \cdot 336 \cdot 25}{7 \cdot 625} = \frac{5 \cdot 336}{7 \cdot 25} = \frac{1680}{175} = 9.6\]

Ответ: 9.6