4*. В треугольнике АВС <A = 90°, <B = 60° На стороне АС отмечена точка D так, что <DBC = 30°, DA = 4 см. Найдите АС и расстояние от точки D до стороны ВС.

4. В треугольнике АВС угол A = 90°, угол B = 60°. На стороне АС отмечена точка D так, что угол DBC = 30°, DA = 4 см. Найдите АС и расстояние от точки D до стороны ВС.

1) Рассмотрим треугольник ABC: ∠C = 180° - (90° + 60°) = 30°.

2) Рассмотрим треугольник DBC: ∠BDC = 180° - (30° + 30°) = 120°.

3) Рассмотрим треугольник ABD: ∠ABD = ∠ABC - ∠DBC = 60° - 30° = 30°.

4) В треугольнике ABD: AD = BD \cdot tg(30°), откуда $$BD = \frac{AD}{tg(30°)} = \frac{4}{\frac{\sqrt{3}}{3}} = \frac{4 \cdot 3}{\sqrt{3}} = 4\sqrt{3}$$ см.

5) В треугольнике DBC: DC = BC = $$\frac{BD \cdot sin(30°)}{sin(30°)}$$ = $$4\sqrt{3}$$ см.

6) AC = AD + DC = 4 + $$4\sqrt{3}$$ = 4(1 + $$\sqrt{3}$$) см.

7) Расстояние от точки D до BC - это DH, где DH перпендикулярна BC. Тогда DH = DC \cdot sin(30°) = $$4\sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = 2\sqrt{3}$$ см.

Ответ: AC = 4(1 + $$\sqrt{3}$$) см; $$2\sqrt{3}$$ см