В треугольнике ABC угол C равен 90°, СН - высота, ВС=8 см, sin A=0,25. Найдите длину ВН. Дайте ответ в сантиметрах.

Ответ: 2 см

1. В прямоугольном треугольнике \(ABC\) с углом \(C = 90^\circ\), дана высота \(CH\), опущенная на гипотенузу \(AB\). Нам известно, что \(BC = 8\) см и \(\sin A = 0.25\). Нужно найти длину \(BH\).
2. Рассмотрим треугольник \(ABC\). По определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике: \[\sin A = \frac{BC}{AB}\] Отсюда можно найти длину гипотенузы \(AB\): \[AB = \frac{BC}{\sin A} = \frac{8}{0.25} = 32\text{ см}\]
3. Теперь рассмотрим треугольник \(BCH\), который также является прямоугольным (так как \(CH\) - высота). Угол \(B\) является общим для треугольников \(ABC\) и \(BCH\).
4. В треугольнике \(BCH\) синус угла \(CBA\) равен: \[\sin A = \frac{CH}{BC}\] Но нам нужно найти \(BH\).
5. Рассмотрим косинус угла \(B\) в треугольнике \(ABC\): \[\cos B = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (0.25)^2} = \sqrt{1 - 0.0625} = \sqrt{0.9375} ≈ 0.968\)
6. Используем косинус угла \(B\) в треугольнике \(BCH\): \[\cos B = \frac{BH}{BC}\] Отсюда найдем \(BH\): \[BH = BC \cdot \cos B = 8 \cdot 0.968 ≈ 7.74 \text{ см}\]
7. Или, можно найти \(AH\) и вычесть из \(AB\), что бы найти \(BH\). Треугольники \(ACH\) и \(ABC\) подобны, значит \[\angle A = \angle HCA\] \[\cos A = \frac{AH}{AC}\] \[AH = AC \cdot \cos A\] По теореме Пифагора найдем AC: \[AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{32^2 - 8^2} = \sqrt{1024 - 64} = \sqrt{960} ≈ 30.98 \text{ см}\] \[AH = 30.98 \cdot 0.968 ≈ 30 \text{ см}\] \[BH = AB - AH = 32 - 30 = 2\text{ см}\]

Ответ: 2 см