В треугольнике ABC угол C равен 90°, CH – высота, AB = 100, sin A = $$\frac{4}{5}$$. Найдите длину отрезка AH.

В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, дана высота CH и AB = 100, sin A = $$\frac{4}{5}$$. Нужно найти длину отрезка AH.

1. Рассмотрим треугольник ABC. Поскольку sin A = $$\frac{4}{5}$$, можем найти cos A, используя основное тригонометрическое тождество:

$$sin^2 A + cos^2 A = 1$$

$$cos^2 A = 1 - sin^2 A = 1 - (\frac{4}{5})^2 = 1 - \frac{16}{25} = \frac{9}{25}$$

$$cos A = \sqrt{\frac{9}{25}} = \frac{3}{5}$$

2. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ACH. В этом треугольнике cos A = $$\frac{AH}{AC}$$. Значит, $$AH = AC \cdot cos A$$.

3. Найдем AC из треугольника ABC. sin A = $$\frac{BC}{AB}$$, следовательно, BC = AB * sin A = 100 * $$\frac{4}{5}$$ = 80. Тогда по теореме Пифагора $$AC = \sqrt{AB^2 - BC^2} = \sqrt{100^2 - 80^2} = \sqrt{10000 - 6400} = \sqrt{3600} = 60$$.

4. Теперь можем найти AH: $$AH = AC \cdot cos A = 60 \cdot \frac{3}{5} = 36$$.