В треугольнике ABC угол C равен 90°, АВ = 30, sin A = 3 2 Найдите АС.

Ответ: 15

Разбираемся:

1. В прямоугольном треугольнике ABC, где угол C равен 90°, синус угла A определяется как отношение противолежащего катета (BC) к гипотенузе (AB). То есть: \[\sin A = \frac{BC}{AB}\]
2. Нам дано, что AB = 30 и \[\sin A = \frac{\sqrt{3}}{2}\] Подставим известные значения в формулу: \[\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{BC}{30}\]
3. Решим уравнение для BC: \[BC = 30 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 15\sqrt{3}\]
4. Теперь, когда мы знаем BC, мы можем найти AC, используя косинус угла A, так как: \[\cos A = \frac{AC}{AB}\] Или, что проще, воспользуемся теоремой Пифагора: \[AC^2 + BC^2 = AB^2\] \[AC^2 = AB^2 - BC^2\] \[AC^2 = 30^2 - (15\sqrt{3})^2\] \[AC^2 = 900 - 675 = 225\] \[AC = \sqrt{225} = 15\]

Ответ: 15