В треугольнике ABC угол C равен 90°. \(\cos ∠B = \frac{2}{ \sqrt{5} }\). AB = 10. Найдите ВС.

Ответ: \(4\sqrt{5}\)

1. Шаг 1: Записываем определение косинуса угла B.Косинус угла B равен отношению прилежащего катета BC к гипотенузе AB: \[\cos B = \frac{BC}{AB}\]
2. Шаг 2: Выражаем BC.Нам дано, что \(\cos B = \frac{2}{\sqrt{5}}\) и AB = 10. Подставляем эти значения: \[\frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{BC}{10}\]
3. Шаг 3: Решаем уравнение для BC.Умножаем обе части уравнения на 10: \[BC = \frac{2}{\sqrt{5}} \cdot 10 = \frac{20}{\sqrt{5}}\]
4. Шаг 4: Упрощаем выражение для BC.Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножаем числитель и знаменатель на \(\sqrt{5}\): \[BC = \frac{20}{\sqrt{5}} \cdot \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}} = \frac{20\sqrt{5}}{5} = 4\sqrt{5}\]

Ответ: \(4\sqrt{5}\)