9. В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH . Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.

1. Так как BM - медиана, то AM = MC = AC/2 = 84/2 = 42.

2. Пусть BC = BM = x.

3. Рассмотрим треугольник BMC. Так как BC = BM, то треугольник BMC равнобедренный.

4. Пусть MH = y. Тогда HC = MC - MH = 42 - y.

5. В равнобедренном треугольнике BMC высота BH является также медианой, то есть MH = HC, но BH не является медианой, значит BH не является высотой в BMC.

6. В прямоугольном треугольнике BHC:

\(BH^2 + HC^2 = BC^2\)

\(BH^2 + (42-y)^2 = x^2\)

В прямоугольном треугольнике ABH:

\(BH^2 + AH^2 = AB^2\)

AH = AM + MH = 42 + y.

Так как BC = BM, то BH является высотой и медианой в треугольнике BMC, следовательно, MH = HC = 42. Но это невозможно, так как MH должно быть меньше MC.

Пусть \(BC=BM=x\). Тогда \(MC = 42\).

Пусть \(AH = z\). Нужно найти z.

Рассмотрим \(\triangle BHC\) и \(\triangle BMA\).

По теореме Пифагора для \(\triangle BHC\): \(BH^2 + HC^2 = x^2\).

По теореме Пифагора для \(\triangle BHA\): \(BH^2 + z^2 = AB^2\).

В условии задачи, скорее всего, есть ошибка, так как для решения не хватает данных. Без дополнительных условий или соотношений между сторонами и углами треугольника невозможно однозначно определить длину отрезка AH.

Ответ: Невозможно определить.