В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если ∠C = 53° и BM = AM = MC.

Решение:

По условию \( BM = AM = MC \). Это означает, что точка \( M \) — центр описанной окружности треугольника \( ABC \), а \( BM \), \( AM \) и \( MC \) — радиусы этой окружности.

Рассмотрим треугольник \( BMC \):

Так как \( BM = MC \), то \( \triangle BMC \) — равнобедренный. Углы при основании равны:

\[
\angle MBC = \angle C = 53^{\circ}
\]

Рассмотрим треугольник \( AMB \):

Так как \( BM = AM \), то \( \triangle AMB \) — равнобедренный. Углы при основании \( AB \) равны. Пусть \(
\angle BAM = \angle A = x \).

Тогда \(
\angle ABM = \angle A = x \).

Теперь найдём угол \(
\angle BMC \) в равнобедренном треугольнике \( BMC \) как внешний угол треугольника \( AMB \) при вершине \( M \):

\[ \angle BMC = \angle BAM + \angle ABM = x + x = 2x \]

Сумма углов в треугольнике \( BMC \) равна \( 180^{\circ} \):

\[ \angle MBC + \angle C + \angle BMC = 180^{\circ} \]

\[ 53^{\circ} + 53^{\circ} + 2x = 180^{\circ} \]

\[ 106^{\circ} + 2x = 180^{\circ} \]

\[ 2x = 180^{\circ} - 106^{\circ} \]

\[ 2x = 74^{\circ} \]

\[ x = \frac{74^{\circ}}{2} = 37^{\circ} \]

Так как \( x =
\angle A \), то \(
\angle A = 37^{\circ} \).

Ответ: 37°.