В треугольнике ABC проведена медиана BM. Найдите градусную меру угла A, если \(\angle\) C = 61^{\(\circ\)} и BM = AM = MC.

Дано:

• \[ \triangle ABC \]
• BM - медиана
• \[ \angle C = 61^{\circ} \]
• \[ BM = AM = MC \]

Найти: \[ \angle A \]

Решение:

1. Анализ условия: Так как BM = AM = MC, то точка M является центром описанной окружности для \[ \triangle ABC \]. Это означает, что \[ \triangle ABM \] и \[ \triangle CBM \] - равнобедренные.
2. Углы в \[ \triangle CBM \]: Поскольку \[ BM = MC \], то \[ \angle MBC = \angle C = 61^{\circ} \].
3. Угол BMC: \[ \angle BMC = 180^{\circ} - (\angle MBC + \angle C) = 180^{\circ} - (61^{\circ} + 61^{\circ}) = 180^{\circ} - 122^{\circ} = 58^{\circ} \].
4. Углы в \[ \triangle ABM \]: Угол \[ \angle AMB \] является смежным для \[ \angle BMC \], поэтому \[ \angle AMB = 180^{\circ} - \angle BMC = 180^{\circ} - 58^{\circ} = 122^{\circ} \].
5. Углы в \[ \triangle ABM \]: Так как \[ BM = AM \], то \[ \triangle ABM \] - равнобедренный. Углы при основании равны: \[ \angle MAB = \angle MBA = \frac{180^{\circ} - \angle AMB}{2} = \frac{180^{\circ} - 122^{\circ}}{2} = \frac{58^{\circ}}{2} = 29^{\circ} \].
6. Угол A: Угол A в \[ \triangle ABC \] равен \[ \angle MAB \], так как M лежит на стороне AC.

Ответ: 29