Диагональ AC ромба ABCD равна 24, а \(\tan\) \(\angle\) BCA = 0,75. Найдите радиус окружности, вписанной в ромб.

Дано:

• Ромб ABCD.
• Диагональ \(\nolimits\)\[ AC = 24 \].
• \(\nolimits\)\[ \tan \angle BCA = 0.75 \].

Найти: Радиус вписанной окружности \(\nolimits\)\[ r \].

Решение:

1. Свойства ромба: Диагонали ромба перпендикулярны и делятся точкой пересечения пополам. Пусть диагонали пересекаются в точке O.
2. Половина диагонали AC: \(\nolimits\)\[ AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{24}{2} = 12 \].
3. Прямоугольный треугольник \(\nolimits\)\[ \triangle BOC \]: \(\nolimits\)\[ \angle BOC = 90^{\circ} \].
4. Нахождение стороны BC: В \(\nolimits\)\[ \triangle BOC \] знаем \(\nolimits\)\[ OC = 12 \] и \(\nolimits\)\[ \tan \angle BCA = \frac{BO}{OC} = 0.75 \].
5. BO: \(\nolimits\)\[ BO = OC \cdot \tan \angle BCA = 12 \cdot 0.75 = 9 \].
6. Сторона ромба (BC): По теореме Пифагора в \(\nolimits\)\[ \triangle BOC \]:

\(\nolimits\)\[ BC^2 = BO^2 + OC^2 = 9^2 + 12^2 = 81 + 144 = 225 \]

\(\nolimits\)\[ BC = \sqrt{225} = 15 \].

\(\nolimits\)\[ S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot (2 \cdot BO) = \frac{1}{2} \cdot 24 \cdot (2 \cdot 9) = 12 \cdot 18 = 216 \].

Также площадь ромба равна произведению стороны на высоту: \(\nolimits\)\[ S = BC \cdot h \]. Высота \(\nolimits\)\[ h \] - это удвоенный радиус вписанной окружности \(\nolimits\)\[ h = 2r \].

\(\nolimits\)\[ 216 = 15 \cdot 2r \]

\(\nolimits\)\[ 2r = \frac{216}{15} = 14.4 \]

\(\nolimits\)\[ r = \frac{14.4}{2} = 7.2 \].

Ответ: 7.2