4. В треугольнике ABC известно, что BC = 10, \(\angle B = 60^\circ\), угол C равен 90°. Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Дано: $$BC = 10$$ $$\angle B = 60^\circ$$ $$\angle C = 90^\circ$$ Найти: Радиус описанной окружности. Решение: 1. Так как угол C прямой ($$90^\circ$$), то треугольник ABC - прямоугольный. В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности находится в середине гипотенузы AB. Следовательно, радиус описанной окружности равен половине гипотенузы. 2. Найдем гипотенузу AB. В прямоугольном треугольнике ABC: $$\sin{B} = \frac{AC}{AB}$$. Тогда $$AB = \frac{AC}{\sin{B}}$$. 3. Найдем AC. В прямоугольном треугольнике ABC: $$\tan{B} = \frac{AC}{BC}$$. Тогда $$AC = BC \cdot \tan{B} = 10 \cdot \tan{60^\circ} = 10 \sqrt{3}$$. 4. Теперь найдем AB: $$AB = \frac{10 \sqrt{3}}{\sin{60^\circ}} = \frac{10 \sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 10 \cdot 2 = 20$$. 5. Радиус описанной окружности $$R = \frac{AB}{2} = \frac{20}{2} = 10$$. Ответ: Радиус описанной окружности равен $$\bold{10}$$.