3. На окружности отмечены точки A и B так, что угол AOB равен 110°. Прямая BC касается окружности в точке B так, что угол ABC острый. Найдите угол ABC.

Дано: $$\angle AOB = 110^\circ$$ Нужно найти: $$\angle ABC$$ Решение: 1. Угол AOB - центральный угол, опирающийся на дугу AB. Вписанный угол AIB, опирающийся на ту же дугу AB, равен половине центрального угла, т.е., $$\angle AIB = \frac{1}{2} \angle AOB = \frac{1}{2} \cdot 110^\circ = 55^\circ$$. 2. Угол OBC прямой, так как радиус OB проведен в точку касания B прямой BC. Следовательно, $$\angle OBC = 90^\circ$$. 3. Рассмотрим треугольник OIB. Он равнобедренный, так как OI = OB (как радиусы). Тогда $$\angle OBI = \angle OIB = 55^\circ$$. 4. Угол ABC равен разности углов OBC и OBA. То есть, $$\angle ABC = \angle OBC - \angle OBI = 90^\circ - 55^\circ = 35^\circ$$. Ответ: $$\angle ABC = \bold{35^\circ}$$