В треугольнике ABC известно, что \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle A = 60^\circ \). Биссектриса угла А пересекает катет BC в точке K. Найдите ВК, если AK - CK = 8 см.

Решение:

1. В прямоугольном треугольнике ABC: \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle A = 60^\circ \), значит \( \angle B = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ \).
2. AK — биссектриса \( \angle A \), следовательно, \( \angle CAK = \angle KAB = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ \).
3. Рассмотрим \( \triangle ABK \): \( \angle KAB = 30^\circ \), \( \angle B = 30^\circ \). Следовательно, \( \triangle ABK \) — равнобедренный с основанием BK. Значит, \( AK = BK \).
4. Рассмотрим \( \triangle ACK \): \( \angle C = 90^\circ \), \( \angle CAK = 30^\circ \).
5. В прямоугольном \( \triangle ACK \) катет CK лежит напротив угла \( 30^\circ \), поэтому \( CK = \frac{1}{2} AK \).
6. По условию \( AK - CK = 8 \) см.
7. Подставим \( CK = \frac{1}{2} AK \) в уравнение: \( AK - \frac{1}{2} AK = 8 \).
8. Решим уравнение: \( \frac{1}{2} AK = 8 \) \( AK = 16 \) см.
9. Так как \( BK = AK \), то \( BK = 16 \) см.

Ответ: 16 см.