На рисунке 57 \( \angle ACB = 90^\circ \), \( \angle ADC = 90^\circ \), \( \angle ABC = 30^\circ \). Найдите угол ACD, если AB = 4 см, CD = 1 см.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

В прямоугольном треугольнике ABC (\( \angle C = 90^\circ \)):

\( \angle ABC = 30^\circ \).
\( AC = AB \cdot \cos(30^\circ) \) \( AC = 4 · \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3} \) см.
\( BC = AB · \sin(30^\circ) \) \( BC = 4 · \frac{1}{2} = 2 \) см.

В прямоугольном треугольнике ADC (\( \angle D = 90^\circ \)):

\( CD = 1 \) см.
\( AC = 2\sqrt{3} \) см.
По теореме Пифагора найдём AD: \( AD^2 = AC^2 - CD^2 \) \( AD^2 = (2\sqrt{3})^2 - 1^2 \) \( AD^2 = 12 - 1 \) \( AD^2 = 11 \) \( AD = \sqrt{11} \) см.
В прямоугольном треугольнике ADC найдём \( \angle ACD \).
\( \text{tg}(\angle ACD) = \frac{AD}{CD} = \frac{\sqrt{11}}{1} = \sqrt{11} \).
\( \angle ACD = \text{arctg}(\sqrt{11}) \).
Так как \( \angle ACB = 90^\circ \) и \( \angle ACB = \angle ACD + \angle BCD \), то \( \angle ACD = 90^\circ - \angle BCD \).
Чтобы найти \( \angle ACD \), мы можем использовать \( \text{cos}(\angle ACD) = \frac{CD}{AC} \).
\( \text{cos}(\angle ACD) = \frac{1}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{6} \).
\( \angle ACD = \text{arccos}(\frac{\sqrt{3}}{6}) \).

Ответ: \( \angle ACD = \text{arccos}(\frac{\sqrt{3}}{6}) \).