В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 18, tg A = $$\frac{2\sqrt{22}}{9}$$. Найдите длину стороны AC.

Решение:

Так как \( AC = BC \), треугольник ABC — равнобедренный.

Проведем высоту CD к основанию AB. В равнобедренном треугольнике высота является также медианой, поэтому \( AD = DB = \frac{AB}{2} = \frac{18}{2} = 9 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC. Угол ADC равен 90 градусов.

Нам известно, что \( \text{tg } A = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{CD}{AD} \).

У нас есть \( \text{tg } A = \frac{2\sqrt{22}}{9} \) и \( AD = 9 \).

Подставим значения:

\[ \frac{2\sqrt{22}}{9} = \frac{CD}{9} \]

Отсюда находим длину катета CD:

\[ CD = 9 \cdot \frac{2\sqrt{22}}{9} = 2\sqrt{22} \]

Теперь используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ADC:

\[ AC^2 = AD^2 + CD^2 \]

Подставим найденные значения:

\[ AC^2 = 9^2 + (2\sqrt{22})^2 \]

\[ AC^2 = 81 + (4 \cdot 22) \]

\[ AC^2 = 81 + 88 \]

\[ AC^2 = 169 \]

Извлечём квадратный корень, чтобы найти длину AC:

\[ AC = \sqrt{169} = 13 \]

Ответ: 13