В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB=20, tgA=\(\frac{\sqrt{5}}{2}\). Найдите длину стороны AC.

Пошаговое решение:

1. Проведем высоту CH к стороне AB. Так как треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), высота CH является также медианой. Следовательно, AH = HB = AB/2 = 20/2 = 10.
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник AHC. Известно, что tgA = \(\frac{\sqrt{5}}{2}\). Также известно, что tgA = \(\frac{CH}{AH}\).
3. Подставим известные значения: \(\frac{\sqrt{5}}{2} = \frac{CH}{10}\).
4. Решим уравнение для CH: CH = \(\frac{10\sqrt{5}}{2} = 5\sqrt{5}\).
5. Теперь, когда известна высота CH и AH, найдем AC по теореме Пифагора:

   \[AC = \sqrt{AH^2 + CH^2} = \sqrt{10^2 + (5\sqrt{5})^2} = \sqrt{100 + 25 \cdot 5} = \sqrt{100 + 125} = \sqrt{225} = 15\]

Ответ: 15