В треугольнике ABC известно, что AC = BC, AB = 10, tgA=\frac{2√6}{5}. Найдите длину стороны АС.

Пошаговое решение:

1. Так как треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), углы при основании равны: ∠A = ∠B.
2. Выразим косинус угла A через тангенс: \[ tg^2 A + 1 = \frac{1}{cos^2 A} \] \[ (\frac{2\sqrt{6}}{5})^2 + 1 = \frac{1}{cos^2 A} \] \[ \frac{4 \cdot 6}{25} + 1 = \frac{24}{25} + 1 = \frac{49}{25} = \frac{1}{cos^2 A} \] \[ cos^2 A = \frac{25}{49} \] \[ cos A = \frac{5}{7} \]
3. Применим теорему косинусов: \[ AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 \cdot AC \cdot BC \cdot cos C \]Так как AC = BC, то: \[ AB^2 = 2AC^2 - 2AC^2 cos C \]Угол C = 180° - 2A, тогда cos C = cos(180° - 2A) = -cos(2A) = -(2cos²A - 1) = 1 - 2cos²A
4. Подставим cos A: \[ cos C = 1 - 2(\frac{5}{7})^2 = 1 - 2 \cdot \frac{25}{49} = 1 - \frac{50}{49} = -\frac{1}{49} \]
5. Подставим в теорему косинусов: \[ 10^2 = 2AC^2 - 2AC^2 (-\frac{1}{49}) \] \[ 100 = 2AC^2 + \frac{2}{49}AC^2 \] \[ 100 = \frac{100}{49}AC^2 \] \[ AC^2 = 49 \] \[ AC = 7 \]

Ответ: 7